Упростить сумму из сочетаний.

[Maxim19]

Здравствуйте, решаю задачу по вероятности и надо ответ дать компактным(без знака суммы или многоточий). Сумма такая $2(\frac{1}{2})^n\sum\limits_{1}^{\frac{n}{2}}k\binom{\frac{n}{2}-k}{n}$. Не могу придумать, как сократить. Есть у кого нибудь идеи?

[ИСН]

Что OEIS говорит?

[wrest]

Maxim19 в сообщении #1573251 писал(а):

Есть у кого нибудь идеи?

Идея простая. Для начала, вместо $\binom{\frac{n}{2}-k}{n}$ подставить формулу.

[Gagarin1968]

Maxim19 в сообщении #1573251 писал(а):

надо ответ дать компактным(без знака суммы или многоточий)

Вообще в математике это называется замкнутый вид.

[TOTAL]

Maxim19 в сообщении #1573251 писал(а):

Сумма такая $2(\frac{1}{2})^n\sum\limits_{1}^{\frac{n}{2}}k\binom{\frac{n}{2}-k}{n}$. Не могу придумать, как сократить. Есть у кого нибудь идеи?

Есть идея. Саму задачу сформулируйте, ведь сумма может быть и не такая.

[wrest]

TOTAL в сообщении #1573298 писал(а):

ведь сумма может быть и не такая.

Эта сумма сворачивается. Для чётных n конечно. Что она значит для нечётных не знаю.

[Maxim19]

Задача такова, что на бесконечной шахматной доске робот ходит в случайную соседнюю клетку(их 8) за один ход и надо найти матожидание модуля разности количества пройденных чёрных и белых клеток за n ходов если количество считается с учётом повторений(то есть если клетка одна и та же задета дважды, то и два раза считается этот цвет)

[Markiyan Hirnyk]

Математика 13.1 отвечает

Sum[k*Binomial[n, n/2 - k], {k, 1, n/2}]

$\frac{1}{4} (n+2) \binom{n}{\frac{n}{2}-1}$

[svv]

1) Не $\binom{\frac{n}{2}-k}{n}$, а $\binom{n}{\frac{n}{2}-k}$, см. определение биномиальных коэффициентов.
2) Двойку потеряли. Например, для $n=2$ Ваща формула даёт $\frac 1 2$, а должно быть $1$.
3) Какая формула для нечётных $n$?

[TOTAL]

svv в сообщении #1573359 писал(а):

3) Какая формула для нечётных $n$?

По моим подсчётам матожидание для четного равно матожиданию предыдущего нечетного.
Сама сумма телескопически сворачивается (каждое слагаемые представлется как разность)

$$M_{2k+2}=M_{2k+1}=\frac{2k+1}{2^{2k}}\cdot C^k_{2k}$$

[Markiyan Hirnyk]

svv
Если Ваш пост адресован мне, то довожу до Вашего сведения, что в Математике сумма

Sum[k*Binomial[n, n/2 - k], {k, 1, n/2}]

понимается как сумма по целым значениям $k$, меньшим или равным действительного числа $n/2$ и большим или равным единицы.

[svv]

Markiyan Hirnyk
Нет, не Вам, а Maxim19.

[Markiyan Hirnyk]

svv
Ваше высказывание

Цитата:

Нет, не Вам, а Maxim19

не согласуется с Вашим высказыванием

Цитата:

2) Двойку потеряли. Например, для $n=2$ Ващ[ш]а формула даёт $\frac 1 2$, а должно быть $1$

.

[artempalkin]

Maxim19 в сообщении #1573301 писал(а):

Задача такова, что на бесконечной шахматной доске робот ходит в случайную соседнюю клетку(их 8) за один ход и надо найти матожидание модуля разности количества пройденных чёрных и белых клеток за n ходов если количество считается с учётом повторений(то есть если клетка одна и та же задета дважды, то и два раза считается этот цвет)

А нельзя как-то по-другому подойти к этой задаче?
Например, если $x=x_1+...+x_n$ - случайные величины, где $x$ - количество пройденных белых клеток, а $x_i$ - количество пройденных белых клеток на $i$-ом ходу. То же с черными и с $y$.

Тогда $Mx_i=My_i=1/2$ и $M(x-y)=0$. Но можно посчитать, например, $M(x-y)^2$, может, это как-то приблизит к ответу, но пока не могу понять, как...

[gris]

А нельзя ли просто подкидывать монетку $n$ раз и смотреть модуль разности между количеством О и Р? И моделируется проще