Задачник по алгебре под ред. Кострикина, задача 36.21

[Kuga]

Задача:
Пусть $K$ конечное поле из $q^n$ элементов, $F$ - подполе в $K$ из $q$ элементов, $l(x)=x+x^q+x^{q^2}+\ldots x^{q^{n-1}}=0$ , $x\in K$. Доказать, что:
а) $l(x)$ линейный оператор в $K$ как векторном пространстве над $F$;
б) ядро оператора $l(x)$ состоит из всех элементов вида $a-a^q$, где $a\in K$;

В указании ссылаются на 3 параграфа из книги Лэнга, где доказывается теорема Артина-Шрейера. Поразмыслив над задачей я вроде нашел решение, которое не использует теорему Артина-Шрейера. Но у меня есть сомнения в правильности решения, потому что решение подозрительно короткое и элементарное. Можете ли вы проверить это решение?

Решение.
а) Проверяется используя тождество Фробениуса $(x+y)^q=x^q+y^q$ в поле характеристики $q$ и малую теорему Ферма $a\in F \Rightarrow a^q=a$. Поэтому основная трудность в доказательстве пункта б).

б) Обозначим $M=\left\{a-a^q, ~a\in K\right\}$ множество всех элементов вида $a-a^q$, где $a\in K$. Рассмотрим уравнение относительно $x$ при фиксированном $a$

$$ x-x^q=a-a^q, ~~ a\in K. $$

Это уравнение имеет не более чем $q$ различных решений в $K$. Легко найти все решения: $x=a+\alpha$, где $\alpha$ пробегает $q$ элементов $F$
(действительно, так как $\alpha\in F$, то $\alpha^q=\alpha$, и поэтому $x-x^q=a+\alpha-(a+\alpha)^q=a+\alpha-(a^q+\alpha^q)=a+\alpha-a^q-\alpha=a-a^q$).
Значит каждый элемент из $M$ имеет ровно $q$ прообразов в $K$ при суръективном отображении $f:K\to M, f(x)=x-x^q$. Отсюда следует $|M|=\frac{|K|}{q}=\frac{q^n}{q}=q^{n-1}$, т.е. $M$ содержит ровно $q^{n-1}$ элементов.

Легко также видеть, что элементы множества $M$ являются корнями уравнения $l(x)=0$, т.е. $M \subset \ker l$:

$$ l(a-a^q)=a-a^q+(a^q-a^{q^2})+\ldots + (a^{q^{n-1}}-a^{q^n})=a-a^{q^n}=0 $$

для любого $a\in K$. Но уравнение $l(x)=0$ имеет не более $q^{n-1}$ решений в $K$. А так как $M$ содержит ровно $q^{n-1}$ элементов, то $M$ исчерпывает все корни этого уравнения.
В итоге множество корней $l(x)$ совпадает с $M$, ч.т.д.

[vpb]

Kuga в сообщении #1573432 писал(а):

в поле характеристики $q$

Так говорить нельзя, потому что $q=p^s$ само степень некоторого простого $p$ (задача имеет смысл и в этом случае, заметьте !. Заметим также, что если $K$ --- поле порядка $q^n$, $q=p^s$, $F\subset K$ --- подполе из $q$ элементов, то отображение $x\mapsto x^q$ на $K$ --- $F$-линейно). И "суръективный" на самом деле "сюръективный". А в остальном правильно. А что там в указании написано ... да ну его. Бывает, что задачу написал один человек, а решение/указание к ней --- другой.

[Kuga]

vpb в сообщении #1573457 писал(а):

Kuga в сообщении #1573432 писал(а):

в поле характеристики $q$

Так говорить нельзя, потому что $q=p^s$ само степень некоторого простого $p$

Совсем упустил этот момент при изучении теории. Спасибо за информативный ответ. Тему можно закрывать.

[vpb]

Kuga в сообщении #1573592 писал(а):

Совсем упустил этот момент при изучении теории.

Это не вы упустили, а аффтары недостаточно корректно выразились, из-за чего непонятно, то ли они подразумевали, что $q=p^s$, то ли что $q$ само простое. Но обычно принято, что простое (характеристика поля) обозначается через $p$, а $q$ --- некоторая степень этого $p$.