Потенциальная яма(одномерный случай)

[Urban12]

В одномерной яме шириной $a$ находится частица. При этом известно, что:

$b_1\psi(0)+c_1\psi'(0)=0$,

$b_2\psi(a)+c_2\psi'(a)=0$,

константы $b_1, b_2, c_1, c_2$ - вещественные числа.

Необходимо определить объем квантового состояния: $\Delta p_x$.

Ответ: $\Delta p_x = \frac{2\pi h}{L}$

В качестве волновой функции я беру $\psi(x)=\sqrt{\frac{2}{L}}\sin(\frac{\pi n x}{L})$.

Фазовый объем считается по формуле: $\Gamma=\int dp dx=\Delta p L$

Мне кажется, что нужно найти $\Delta p$ из формулы из граничных условий, но там нет никакой зависимости от импульса и константы неизвестны.

[Утундрий]

Urban12 в сообщении #1573455 писал(а):

В качестве волновой функции я беру $\psi(x)=\sqrt{\frac{2}{L}}\sin(\frac{\pi n x}{L})$.

А как быть с

Urban12 в сообщении #1573455 писал(а):

$b_1\psi(0)+c_1\psi'(0)=0$,

$b_2\psi(a)+c_2\psi'(a)=0$,

?

[Urban12]

Утундрий
Ну вот да, нияего хорошего не получится

[Утундрий]

Универсальных для данной науки совет: составьте суперпозицию.

[Urban12]

Утундрий
Честно говоря, не очень понимаю о какой суперпозиции речь?

[Cos(x-pi/2)]

Urban12 в сообщении #1573455 писал(а):

В качестве волновой функции я беру $\psi(x)=\sqrt{\frac{2}{L}}\sin(\frac{\pi n x}{L})$.

Волновую функцию надо не "брать" откуда попало, а находить как решение уравнения Шрёдингера с указанными в задаче граничными условиями. (Кстати, с обозначениями, пожалуйста, будьте внимательнее: в задаче у Вас указана ширина ямы $a,$ но в ответе Вы пишете какую-то $L.)$ Ямы разные бывают: с разным "рельефом" потенциала $U(x)$ - с разной высотой и формой стенок, с разной формой дна. Вы какую яму подразумеваете?

Если яма с плоским дном шириной $L,$ то в ней на плоском участке (т.е. при $0<x<L$ c $U(x)=0)$ уравнение Шрёдингера имеет два линейно независимых частных решения, описывающих свободное движение частицы; например: $e^{ikx}$ и $e^{-ikx}.$ Общее решение имеет вид их линейной суперпозиции с произвольными (до наложения граничных условий) коэффициентами; обозначим коэффициенты, например, как $A$ и $B.$

Тогда волновая функция в том виде, в каком Вы её "брали", т.е. $\sin(kx)$ внутри ямы, соответствует выбору $A=-B,$ который является следствием граничного условия $\psi(0)=0.$ При этом выбор $k=\pi n/L,$ где $n=1,2,3, ...\, ,$ следует из граничного условия $\psi(L)=0$ с требованием, чтобы $A$ и $B$ не оказались бы равны нулю сразу оба (чтобы волновая функция не оказалась бы равной нулю при всех $x$ в яме).

Это явно не те граничные условия, которые заданы Вам в задаче. Поэтому Вам подсказывают: начните с общего решения $\psi(x)$ в виде суперпозиии частных решений с произвольными коэффициентами $A$ и $B,$ и подчините его указанным в задаче граничным условиям. Что из этого получится (или не получится), дальше будет видно.