Полуоси эллипсоида

[Euler-Maskerony]

Здравствуйте. У меня есть $n-$ мерный эллипсоид, который задается уравнением: $\sum_{i,j \in \{1,...,n\}} (x_i - x_j)^2 = 1$, где слагаемые не повторяются и их может быть любое количество, т.е. набор пар $(i,j)$ может быть каким угодно. Это не совсем эллипсоид, т.к. одна из его полуосей имеет бесконечную длину, но я буду его так называть. По сути слева это квадратичная форма, которой соответствует матрица:
$ A = \begin{pmatrix} d_1 & e_{1,2} & \cdots & e_{1,n} \\ e_{2,1} & d_2 & \cdots & e_{2,n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ e_{n,1} & e_{n,2} & \cdots & d_n \\ \end{pmatrix} $
, где $d_i-$ количество слагаемых в которых есть $x_i$, а $e_{i,j} = 0$, если слагаемого с парой $i,j$ не было, и равно $-1$ если было.
Вопрос такой: может ли существовать другая квадратичная форма, у которой соответствующие $d_i$ будут равны $d_i$ в нашей форме, но с отличными $e_{i,j}$, такая что у нее будет такой же набор собственных значений, как и у нашей, т.е. то же самое что, существует ли такая форма такого вида, которая задает эллипсод такой же формы, т.е. с одинаковым набором длин полуосей? При этом формы будем считать одинаковыми, если матрицу одной можно получить одновременной перестановкой строк и стобцов другой, т.е. просто сделать замену $x_i$ на $x_j$, а $x_j$ на $x_i$.
Очень нужно решить задачу, но я не понимаю как подступиться.

[Fizykochemik]

А с чего Вы взяли, что это эллипсоид? Для $n=2$ и $n=3$ это вовсе не эллипсоид если $x_i$ это переменные.

[svv]

Да, тут нужны оговорки. Прежде всего, в сумме должно быть хоть одно слагаемое. Тогда множество точек, удовлетворяющих уравнению, будет непустым.

Одну оговорку автор сделал. Ясно, что если точка $(x_1,...,x_n)$ принадлежит фигуре, то точка $(x_1+a,...,x_n+a)$ тоже (где $a$ произвольное вещественное число). То есть фигура симметрична относительно сдвигов вдоль вектора $(1,...,1)$. Луч из начала координат с таким направляющим вектором и есть та "бесконечная полуось", о которой говорил автор.

Теперь допустим, что 1) каждая координата входит хоть в одно слагаемое и 2) любые две координаты "связаны" друг с другом через некоторую цепочку слагаемых, входящих в сумму (надеюсь, понятно, что это значит). Тогда пересечение фигуры с любой гиперплоскостью, не параллельной вектору $(1,...,1)$, будет ограниченным.

В противном случае пространство сдвигов, переводящих фигуру в себя, будет ещё шире.

[Euler-Maskerony]

Да, чего-то я нечаянно опустил все уточнения

svv в сообщении #1573035 писал(а):

Теперь допустим, что 1) каждая координата входит хоть в одно слагаемое

Да, это так.

svv в сообщении #1573035 писал(а):

2) любые две координаты "связаны" друг с другом через некоторую цепочку слагаемых, входящих в сумму (надеюсь, понятно, что это значит).

В общем случае нет, но давайте рассмтривать этот.

svv в сообщении #1573035 писал(а):

В противном случае пространство сдвигов, переводящих фигуру в себя, будет ещё шире.

Когда я задавал вопрос, то понимал это на интуитивном уровне, но теперь, когда вы это сказали, смею предположить, что это как-то несложно выводится. Как, если не секрет?
Тем не менее непонятно как решать задачу то. Я вот что придумал:
Будем работать в базисе, в котором мы избавляемся от одной из компонент. В этом базисе наша фигура - обычный эллипсоид. Теперь предположим, что существует эллипсоид такой же формы, но не накладывающийся на наш. Значит с помощью последовательности поворотов, испоьзуя матрицы поворотов, мы можем из первого получить второй. Нам осталось доказать, что вращать мы можем только на угол $\pi \cdot k, k \in \mathbb{Z}$. Пока не понял как доказать.

[Euler-Maskerony]

Сколько нужно матриц поворота, чтобы повернуть базис в любое положение? $\frac{n(n-1)}{2}$ или $n$?

[svv]

Euler-Maskerony в сообщении #1573049 писал(а):

Как, если не секрет?

Допустим, в случае $\mathbb R^4$ сумма содержит слагаемые $(x_1-x_2)^2, (x_2-x_3)^2,(x_3-x_4)^2$ (и, возможно, ещё какие-то). Значит, есть цепочка, связывающая все координаты. Пересечём фигуру, скажем, гиперплоскостью $x_1=a$. Тогда $x_2\in[a-1,a+1]$, иначе слагаемое $(x_1-x_2)^2$ станет больше $1$. Теперь $x_3\in[a-2,a+2]$, иначе слагаемое $(x_2-x_3)^2$ станет слишком большим. И так далее. То есть сечение фигуры гиперплоскостью лежит в некотором гиперкубе.

Наоборот, пусть такой цепочки нет, и множество всех координат распадается на несколько несвязанных кусков. Например, в $\mathbb R^6$:
$(x_1-x_2)^2+(x_2-x_3)^2+(x_4-x_5)^2+(x_5-x_6)^2=1$
Если этому уравнению удовлетворяет точка с координатами $(x_1,x_2,x_3,x_4,x_5,x_6)$, то также и $(x_1+a,x_2+a,x_3+a,x_4+b,x_5+b,x_6+b)$. Значит, фигура инвариантна относительно сдвигов вдоль векторов $(1,1,1,0,0,0)$ и $(0,0,0,1,1,1)$ и их линейных комбинаций, в т.ч. $(1,1,1,1,1,1)$.

Euler-Maskerony в сообщении #1573049 писал(а):

Тем не менее непонятно как решать задачу то.

Я тоже не знаю.

Euler-Maskerony в сообщении #1573057 писал(а):

Сколько нужно матриц поворота, чтобы повернуть базис в любое положение? $\frac{n(n-1)}{2}$ или $n$?

$n-1$ точно хватит. Каждый поворот поставит очередной базисный вектор на нужное место, не затрагивая уже ставшие на место предыдущие векторы. Когда $n-1$ базисных векторов заняли нужные положения, последний станет на место автоматически.