Разложение функций в ряд Тейлора

[Stensen]

Всем доброго времени суток. Помогите разобраться. Разложить функцию $f(x)=\frac{x^3}{3}+x +\sin(x-3)$ по формуле Тейлора с центром разложения $x_0 = 3$ до третьего члена, с остаточным членом в форме Пеано (не вычисляя производные). Раскладываю синус в окрестности $x_0 = 3$ :

$\sin(x-3)=\frac{x-3}{1!}-\frac{(x-3)^3}{3!}+\frac{(x-3)^5}{5!}+o((x-3)^3)$.

Возник вопрос, нужно ли: $\frac{x^3}{3}+x $ приводить к $\frac{(x-3)^3}{3}+(x-3) $ ?

[Утундрий]

Нужно. Только не к тому, что написано, а к тому что действительно получится.

[Stensen]

Утундрий в сообщении #1572497 писал(а):

Нужно. Только не к тому, что написано, а к тому что действительно получится.

Должно быть так: $\frac{((x-3)+3)^3}{3}+((x-3)+3) = ...$ $ $ и привести подобные относительно $(x-3)$ , все верно ?

[Null]

Да.

[Stensen]

Всем спасибо!

[lel0lel]

Stensen в сообщении #1572496 писал(а):

$\sin(x-3)=\frac{x-3}{1!}-\frac{(x-3)^3}{3!}+\frac{(x-3)^5}{5!}+o((x-3)^3)$

Порядок малости недооценён.

[Stensen]

lel0lel в сообщении #1572508 писал(а):

Stensen в сообщении #1572496 писал(а):

$\sin(x-3)=\frac{x-3}{1!}-\frac{(x-3)^3}{3!}+\frac{(x-3)^5}{5!}+o((x-3)^3)$

Порядок малости недооценён.

Да, ошибся, там 5-я степень

[mihaild]

lel0lel в сообщении #1572508 писал(а):

Порядок малости недооценён

Это как раз и есть разложение до третьей степени с остаточным членом в форме Пеано.

Stensen в сообщении #1572509 писал(а):

Да, ошибся, там 5-я степень

Т.е. в конце $o((x - 3)^5)$? Уверены, что это вообще правда?

[Stensen]

mihaild в сообщении #1572804 писал(а):

Stensen в сообщении #1572509 писал(а):

Да, ошибся, там 5-я степень

Т.е. в конце $o((x - 3)^5)$? Уверены, что это вообще правда?

Просто механически написал ассимптотическую формулу для синуса. Если правильно помню, степень остаточного члена на единицу выше последнего члена: $o(x-3)^6$. Или вы имеете в виду, что нужно оценить остаток?

[mihaild]

А, пардон, я слепой, у вас там у последнего члена пятая степень. Тогда формула правильная, но чуть длиннее, чем просили (просили до третьей члена, соответственно член с 5й степенью не нужен). Ну и писать член с $(x - 3)^5$ если есть $o((x - 3)^3)$ бессмысленно.

Stensen в сообщении #1572818 писал(а):

Если правильно помню, степень остаточного члена на единицу выше последнего члена: $o(x-3)^6$.

В общем случае это неправда, для синуса правда, потому что он нечетный (и соответственно четные члены нулевые).

[Stensen]

Спасибо. Попутный вопрос, в стартовом топике я спрашивал, нужно ли приводить первые два члена, не относящиеся к синусу, к $(x-3)$. Если я буду делать замену переменной $t=x-3$, тогда очевидно приводить к новой переменной нужно. А если не делать замену, можно ли оставить их как есть, на что это повлияет?

[Утундрий]

Stensen в сообщении #1572822 писал(а):

если не делать замену, можно ли оставить их как есть, на что это повлияет?

На зачёт повлияет. Вас просят найти представление определённо вида, а вы ленитесь. "Вот этот кусок функции я преобразован, а этот пусть так валяется."

[mihaild]

Формула Тейлора $n$-го порядка с центром в точке $a$ и остаточным членом в форме Пеано должна иметь вид $\sum_{i=0}^n \frac{c_i}{i!} (x - a)^i + o((x - a)^n)$. Ключевое тут - чтобы из ответа были очевидны коэффициенты $c_i$.