Здравствуйте. Продолжаю разбираться с рядами, дошел до второго признака Дини.
Формулировка: Пусть (
![$\forall$ $\forall$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/e/c/e/ecea226b5977d1a327732124dccb896982.png)
n
![$\in$ $\in$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/5/b/a/5ba9e09976f6a5a8919c63baa6f2fbe782.png)
![$\mathbb{N}$ $\mathbb{N}$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/4/f/d/4fd661cfefdf4318d1aa35fb483796b282.png)
)
![$f_{n}(x)$ $f_{n}(x)$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/c/7/3/c73f98e6459df78a6f87d5484d65687582.png)
неотрицательны и непрерывны на компактном множестве E метрического пространства X. Если ряд
![$\sum\limits_{n=1}^{\infty}f_{n}(x)$ $\sum\limits_{n=1}^{\infty}f_{n}(x)$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/9/e/a/9ea08545b18440c9fb2eedb367ffa87482.png)
сходится на E к непрерывной на E функции
![$f(x)$ $f(x)$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/7/9/9/7997339883ac20f551e7f35efff0a2b982.png)
, то он сходится равномерно на Е.
С практической точки зрения вроде всё очевидно, но все доказательства этого признака, которые я нашел, очень странные.
В лекциях ФИВТ МФТИ лектор Лукашов А. Л. приводит такое доказательство:
Положим
![$S_{n}(x)=\sum\limits_{k=1}^{n}f_{k}(x);$ $S_{n}(x)=\sum\limits_{k=1}^{n}f_{k}(x);$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/1/e/d/1eda0286a1d839f6ebf4e165c3a73ae982.png)
Так как
![$f_{k}(x)\geqslant 0 \Rightarrow S_{n+1}(x) \geqslant S_{n}(x)$ $f_{k}(x)\geqslant 0 \Rightarrow S_{n+1}(x) \geqslant S_{n}(x)$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/8/8/d/88dd1b45ea7eeac890438c0f02eb754982.png)
и завершает на этом доказательство. Как по мне, это полная чепуха и тут отсутствует ещё как минимум половина доказательтсва про предел
![$S_{n}$ $S_{n}$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/7/3/c/73c2b201841dd2c3dc72f800aee1584582.png)
, которая не является прям-таки очевидной.
В Смирнове приложено другое доказательство (которое переписывать очень долго). Вот так оно выглядит
https://scask.ru/f_book_sm_math41.php?id=39 . И там используется (без объяснения) некоторая точка сгущения, которой ещё не было в курсе матана или алгебры в моем ВУЗе, и поэтому это доказательство тоже непонятно. В Зориче не нашел.
Поэтому прошу помочь либо с разъяснением того, что такое точка сгущения и почему мы ее используем в доказательстве Смирнова. Либо с поиском более понятного доказательства этого признака.
Заранее спасибо!