Признак Дини раввномерной сходимости ф-х рядов.

[TiffanyBoy245]

Здравствуйте. Продолжаю разбираться с рядами, дошел до второго признака Дини.
Формулировка: Пусть ($\forall$n$\in$$\mathbb{N}$) $f_{n}(x)$ неотрицательны и непрерывны на компактном множестве E метрического пространства X. Если ряд $\sum\limits_{n=1}^{\infty}f_{n}(x)$ сходится на E к непрерывной на E функции $f(x)$, то он сходится равномерно на Е.
С практической точки зрения вроде всё очевидно, но все доказательства этого признака, которые я нашел, очень странные.
В лекциях ФИВТ МФТИ лектор Лукашов А. Л. приводит такое доказательство:
Положим $S_{n}(x)=\sum\limits_{k=1}^{n}f_{k}(x);$ Так как $f_{k}(x)\geqslant 0 \Rightarrow S_{n+1}(x) \geqslant S_{n}(x)$ и завершает на этом доказательство. Как по мне, это полная чепуха и тут отсутствует ещё как минимум половина доказательтсва про предел $S_{n}$, которая не является прям-таки очевидной.
В Смирнове приложено другое доказательство (которое переписывать очень долго). Вот так оно выглядит https://scask.ru/f_book_sm_math41.php?id=39 . И там используется (без объяснения) некоторая точка сгущения, которой ещё не было в курсе матана или алгебры в моем ВУЗе, и поэтому это доказательство тоже непонятно. В Зориче не нашел.
Поэтому прошу помочь либо с разъяснением того, что такое точка сгущения и почему мы ее используем в доказательстве Смирнова. Либо с поиском более понятного доказательства этого признака.
Заранее спасибо!

[mihaild]

TiffanyBoy245 в сообщении #1571805 писал(а):

что такое точка сгущения

Просто другое название предельной точки.

TiffanyBoy245 в сообщении #1571805 писал(а):

Либо с поиском более понятного доказательства этого признака

Посмотрите у Рудина ("Основы математического анализа"). Там как раз в формулировке "Если последовательность непрерывных на компакте функций поточечно монотонно убывает и поточечно сходится к непрерывной функции, то сходимость равномерная". Возможно у Лукашова этот результат уже был, и он ссылался на него?

[TiffanyBoy245]

mihaild
Да, кажется у Рудина есть эта же теорема в немного иной формулировке. Прошелся по содержанию заодно и понял, что в этом учебнике очень хорошо скомпанованы теоремы, которые у нас были в этом семестре как раз. Спасибо за помощь!

[krum]

TiffanyBoy245 в сообщении #1571805 писал(а):

В лекциях ФИВТ МФТИ лектор Лукашов А. Л. приводит такое доказательство:
Положим $S_{n}(x)=\sum\limits_{k=1}^{n}f_{k}(x);$ Так как $f_{k}(x)\geqslant 0 \Rightarrow S_{n+1}(x) \geqslant S_{n}(x)$ и завершает на этом доказательство. Как по мне, это полная чепуха

Вероятнее, что полной чепухой является ваш пересказ лектора.

Пусть имеется последовательность непрерывных функций $f_n(x)\to f(x)$ -- поточечно на компактном метрическом пространстве $X\ni x$ сходящаяся к непрерывной функции $f(x)$. Причем $f_n\le f_{n+1}$. Допустим эта последовательность не сходится равномерно, тогда существует подпоследовательность, которую мы продолжим обозначать через $f_n$ такая, что $f(x_n)-f_n(x_n)>c>0$ и $x_n\to \tilde x$. Это получается просто из отрицания равномерной сходимости и того, что на компакте всякая последовательность содержит сходящуюся подпоследовательность.
Для всех $n$ начиная с некоторого и некоторого фиксированного $k$ верны оценки

$$c<f(x_n)-f_n(x_n)<f(\tilde x)+\varepsilon_1-f_n(x_n)<f_k(\tilde x)+\varepsilon_2+\varepsilon_1-f_n(x_n)<f_k(x_n)+\varepsilon_3+\varepsilon_2+\varepsilon_1-f_n(x_n)$$

Это противоречие т.к. $n>k$ и $f_k(x_n)>f_n(x_n)$. ЧТД

[mihaild]

krum в сообщении #1572021 писал(а):

Вероятнее, что полной чепухой является ваш пересказ лектора.

Я бы предположил, что сформулированная вами теорема была в курсе раньше, а дальше аналогичное утверждение про ряды действительно разумно излагать со ссылкой на неё (а ссылку то ли лектор не упомянул - это бывает, то ли ТС не услышал, то ли что-то аналогичное).

[krum]

Видимо, так и было. Однако остается вопрос: зачем была приведена фамилия преподавателя?