Математический анализ с абстрактной точки зрения

[пианист]

Ну, пожалуйста, стройте так. Если видите, чем это полезно. Главное, в результате должны будете выйти на (в качестве частного случая) классический матан, тот, который в Смирнове.

EminentVictorians в сообщении #1571900 писал(а):

которые там называются

Это теорема Ньютона-Лейбница, что ли? Нет, конечно. Речь о неявной функции и о, собс-но, ряде Тейлора, с которого разговор начался.

[EminentVictorians]

мат-ламер в сообщении #1571906 писал(а):

По-моему, у вас отличное абстрактное алгебраическое мышление.

Это так кажется)) Знаете, как алгебру тяжело было учить по началу... А вот одномерный анализ и ТФДП (в стиле Натансона) учить было очень приятно. На тот момент я на 100% был уверен, что у меня чистой воды аналитический, а не алгебраический склад мышления (сейчас кстати скорее всего так же, но я уже не на 100% уверен :) ). Блин, да я алгебру то учить начал ради того, чтобы в матанализе лучше разбираться

По поводу абстрактного и прикладного в матанализе. По-моему, это ложная дилемма. Ну т.е. ее нету. И кстати сильно ли уж матанализ такой прикладной? Численные методы - прикладные. Дифференциальные уравнения тоже. Методы оптимизации какие-нибудь. Теория вероятности в конце концов. А вот сам матанализ? Мне кажется, он ценен в первую очередь тем, что дает теоретическую базу для уже по-настоящему прикладных вещей.

пианист в сообщении #1571907 писал(а):

Главное, в результате должны будете выйти на (в качестве частного случая) классический матан, тот, который в Смирнове.

Смирнова не читал, но подозреваю, что Вы под классическим матаном имеете в виду анализ над $\mathbb R^n$. Если так, то конечно по итогу он и получится. А по дороге получится еще и анализ над $\mathbb C^n$ и половина функционального анализа. Я поэтому так этим всем загорелся - мне кажется игра стоит свеч.

пианист в сообщении #1571907 писал(а):

Речь о неявной функции и о, собс-но, ряде Тейлора, с которого разговор начался.

Да? Мне казалось, что 1 из теорем в шутке - это (общая) формула Стокса. В категории исчислений - там да, есть формула Ньютона-Лейбница (но мне кажется, что там как-то криво написано и имеется в виду что-то более общее - я пока сам не понял).

[svv]

EminentVictorians в сообщении #1571915 писал(а):

Мне казалось, что 1 из теорем в шутке - это (общая) формула Стокса. В категории исчислений - там да, есть формула Ньютона-Лейбница

Формула Ньютона-Лейбница — частный случай формулы Стокса.

[mihaild]

пианист в сообщении #1571907 писал(а):

Речь о неявной функции и о, собс-но, ряде Тейлора, с которого разговор начался.

А ряд Тейлора вы относите к математическому, а не комплексному, анализу?

svv в сообщении #1571927 писал(а):

Формула Ньютона-Лейбница — частный случай
формулы Стокса.

Вот тут как раз пример: почему формулы Стокса (которая требует $C^1$), а не интеграла Курцвейля?

Или еще по поводу обобщений - как обобщить теорему Ролля на случай хотя бы $\mathbb R^n$, чтобы сохранилось равенство? (а мне теорема нравится, выкидывать жалко)

[EminentVictorians]

svv в сообщении #1571927 писал(а):

Формула Ньютона-Лейбница — частный случай
формулы Стокса.

Это то понятно. Непонятно, какое в точности утверждение подразумевается под одним из "the two fundamental theorems of calculus" в связи дифференицальных и интегральных категорий.

mihaild в сообщении #1571928 писал(а):

Вот тут как раз пример: почему формулы Стокса (которая требует $C^1$)

Я может что-то не так понял, но Вы точно уверены в этом?

Дано:
$M$ - компактное ориентированное $k$-мерное многообразие с краем
$\omega$ - форма степени $k-1$ на $M$

Теорема Стокса:

$$\int_M \partial \omega = \int_{\partial M} \omega$$

где $\partial M$ наделено индуцированной ориентацией.

-- 29.11.2022, 21:28 --

Хотя, может быть действительно таки требует $C^1$. Я довольно плохо все это знаю, так что извините.

[mihaild]

EminentVictorians в сообщении #1571932 писал(а):

$\omega$ - форма степени $k-1$ на $M$

И класса $C^1$.

[EminentVictorians]

mihaild в сообщении #1571934 писал(а):

И класса $C^1$.

Хорошо. А как она с интегралом Курцвейля связана?

[пианист]

EminentVictorians в сообщении #1571915 писал(а):

конечно по итогу он и получится

Попробуйте.

mihaild в сообщении #1571928 писал(а):

А ряд Тейлора вы относите к математическому, а не комплексному, анализу?

Я да, но тут же важно мнение автора (кажется, это был Р.Том).
Насколько я помню, речь шла таки именно про математический анализ.

[mihaild]

EminentVictorians в сообщении #1571935 писал(а):

А как она с интегралом Курцвейля связана?

А никак. Просто можно смотреть на формулу Ньютона-Лейбница $f(b) - f(a) = \int_a^b f'(x)\, dx$ (где $f \in C^1$, $\int$ - интеграл Римана) как на частный случай формулы Стокса - можно заменить отрезок на многообразие, а границы отрезка на край, ну и функцию придется менять на дифференциальную форму. А можно на неё же как на частный случай свойства интеграла Курцвейля: $f(b) - f(a) = \int_a^b f'(x)\, dx$ (где $f \in D$, $\int$ - интеграл Курцвейля) - заменяем интеграл на более общий, и функции можно брать из более широкого класса.
В более общем случае, видимо, явление такое получается.
У нас есть пространства $C^1$, $D$ и $\Omega$, $C^1$ является подпространством двух других. На $D$ и $\Omega$ есть операторы "интеграл от производной" и "интеграл по границе", причем на $C^1$ эти операторы соглашаются. Формула Стокса утверждает, что эти операторы совпадают для пространства $\Omega$, свойства интеграла Курцвейля - что они совпадают для $D$, формула Ньютона-Лейбница - что они совпадают для $C^1$. Какое из утверждений (про $\Omega$ или $D$) является её обобщением - непонятно.
Возможно, существует какое-то пространство, включающее и $D$, и $\Omega$, на которое тоже можно продлить эти два оператора, но я про такое не слышал (что, впрочем, не является особо сильным свидетельством в пользу его отсутствия, я и про интеграл Курцвейля случайно узнал).

[Утундрий]

Короче, когда ожидать книжку?

[mihaild]

Brukvalub в сообщении #1228459 писал(а):

Как я слышал от старших товарищей, как-то раз на мехмате основной курс анализа взялся прочесть Е.Б. Дынкин. Так он экономии времени ради сначала прочел теорию интегрирования в максимальной общности, а потом ввел понятие ряда как интеграла по дискретной мере. Тем самым он "задаром" получил много свойств рядов и т.п.
Вот только на экзамене по его курсу дружно рыдали и студиозы, и преподы...
Хотя, может быть, это только байка, уж больно давно все это было.

[EminentVictorians]

mihaild, я понял, о чем речь. По поводу формулы Ньютона-Лейбница, я более менее уверен, что есть общий контекст. Дифференциальные формы - это все еще очень низкий уровень абстракции.

С таким же успехом, можно, например, спрашивать о той же теореме Фубини. Ее тоже можно обобщать в кучу разных направлений, особенно если речь о самой кастрированной ее версии. Но я считаю, что правильное ее обобщение - категорное. Было бы очень странно, если бы оно не ухватывало какие-то частные случаи. Это было бы веским поводом всеми силами попытаться вычленить это проблемное место, которое не дает ход какому-то частному случаю.

А по поводу теории рядов. Понятное дело, что она вся сводится к интегрированию. Просто это все на очень низком уровне абстракции происходит, поэтому меня это пока не очень сильно волнует.

[mihaild]

Но и для доказательства формулы Стокса, и свойств интеграла Курцвейля, надо довольно много поработать руками. Прямо често повыписывать разбиения или калибровочные функции, погруппировать слагаемые, написать определение производной, и т.д. Мне кажется маловероятным, что какая-та общая теория позволит избежать этой работы - придется либо делать что-то аналогичное при доказательстве общего случая, либо делать что-то аналогичное при доказательстве того, что мы действительно попадаем в этот общий случай.

[EminentVictorians]

mihaild в сообщении #1571958 писал(а):

придется либо делать что-то аналогичное при доказательстве общего случая, либо делать что-то аналогичное при доказательстве того, что мы действительно попадаем в этот общий случай.

Конечно! В этом отчасти смысл теории категорий - вместо того, чтобы постоянно делать однотипные танцы с бубном, сделать их 1-2 раза в нужном месте, а потом концентрироваться исключительно на сути явления.

Вот, кстати, пример на эту тему. (из той же статьи про интегральные категории; сразу перевожу на русский)

Теорема 3.6.
В интегральной категории, если $f,g: !A \otimes A \to B$ таковы, что $(1 \otimes \varepsilon)f = (1 \otimes \varepsilon)g$, то $S[f] = S[g]$.

Кажется, что это как раз история про то, что у функций, равных "почти всюду", интегралы совпадают. Но пока с этого этажа дойдем до обычных вещественных функций и интеграла Лебега, придется сделать кучу разных действий. А сам факт по итогу скорее всего докажется в 1 строчку. Т.е. вся его сложность будет не в одном месте (как если бы мы его доказывали как обычно), а размажется по всей этой категорной колокольне.

[пианист]

EminentVictorians
Как любит говорить один мой хороший знакомый, начнём с простого.
В Вашем "сжатом" матанализе числа будут?