Еще раз об интегрировании по грассмановым переменным

[physicsworks]

Не мог пройти мимо следующей темы (которая должна быть в физике тоже): topic129306.html, да и воскрешать ее там, в математике, не хотелось.

На мой взгляд, наиболее прозрачно интеграл (неопределенный) по грассмановым переменным вводится так (в источниках приведеных в теме выше есть эквивалентные но несколько завуалированные основыне положения):
1. Линейность (знак $-$ появляется в случае, если коэффициенты $\alpha$ и $\beta$ тоже грассмановы):
$\int d \eta \left( \alpha f(\eta) + \beta g(\eta) \rihgt) = \pm \alpha \int d\eta \, f(\eta) \pm \beta \int d\eta \, g(\eta)$
$\int d \eta d\bar{\eta} \left( \alpha F(\eta, \bar{\eta}) + \beta G(\eta, \bar{\eta}) \rihgt) = \alpha \int d\eta d\bar{\eta} \, F(\eta, \bar{\eta} ) + \beta \int d\eta d\bar{\eta} \, G(\eta, \bar{\eta} )$
2. Инвариантость относительно трансляций:
$\int d\eta f(\eta) = \int d\eta f(\eta + \xi)$
3. Нормализация:
$\int d \eta d\bar{\eta} e^{\bar{\eta} \eta} = 1$.

Эти свойства полностью фиксируют любой интеграл вида $\int d\eta d\bar{\eta} F(\eta, \bar{\eta})$ в виду конечности его ряда Тэйлора. Например, в случае одной грассмановой переменной:
$\int d\eta (a + b\eta ) = \int d\eta (a+ b \eta + b \xi)$
$b \xi \int d\eta =0$ т.е. $\mbox{\int d\eta} = 0$ в силу произвольности $\xi$ и $b$,
где первое уравнение следует из (2) и разложения в ряд Тэйлора, а второе из (1).
Теперь можно показать, что, например,
$\int d\eta d\bar{\eta} \, \eta = - \int d\bar{\eta} \left( \int d \eta \eta \right)=0$
так как интеграл в скобках не зависит от $\bar{\eta}$.
Таким же образом $\int d\eta d\bar{\eta} 1 = 0$ и $\int d\eta d\bar{\eta} \, \bar{\eta}= 0$.
Из нормализационного условия (3)
$\left( \int d\eta \, \eta \right) \left( \int d\bar{\eta} \, \bar{\eta} \right) = 1$, так что если считать $\int d\eta \, \eta >0$ получается всем известные табличные интегралы (два для одной грассмановой переменной, четыре для двух, причем по одному нетривиальному в каждой группе).

Иногда, один из нетривиальных интегралов выше просто постулируют. Или, еще хуже, сразу объявляют интегрирование и дифференцирование одной и той же операцией. Хотя из изложения выше это просто следует тривиально.

Все три условия выше довольно естественны с точки зрения физики. Условие линейности, конечно, ни у кого не должно вызывать вопросов. Условие инвариантности относительно трансляций слудет из геометрического описания калбировочных полей, в котором оно просто соответствует BRST инвариантности. Нормалазиация же может быть выбрана произовольно и не влияет на значения наблюдаемых величин в силу того, что (после обобощения этой процедуры на интегралы по траекториям) нормализационный множитель как обычно сокращается в числителе и знаменателе в выражениях для функций Грина.

[KVV]

С фейнмановским интегралом понятно. А вот где в КТП в гейзенберговском и шредингеровском представлениях в математических объектах, описывающих фермионные поля, фигурируют грассмановы числа? Классическое дираковское поле ведь возвращает обычные комплексные числа, а не грассмановы, не так ли? Какие числа возвращает полевая конфигурация $\phi(\mathbf{x})$ (или $\phi(\mathbf{x},t)$), являющаяся собственным значением оператора фермионного поля $\hat{\phi}(\mathbf{x})|\Phi\rangle = \phi(\mathbf{x}) |\Phi\rangle$ (или $\hat{\phi}(\mathbf{x},t)|\Phi\rangle = \phi(\mathbf{x},t) |\Phi\rangle$)?

[Anton_Peplov]

Активный в прошлом участник, который по личным причинам не хочет сам писать на форуме, просил передать ссылку на книгу: Прохоров, Шабанов. Гамильтонова механика калибровочных систем. Изд. СПбУ, 1997.

[warlock66613]

KVV в сообщении #1571799 писал(а):

Классическое дираковское поле ведь возвращает обычные комплексные числа, а не грассмановы, не так ли?

Грассмановы. (Правда, я не читал книгу выше, я читал "Классические калибровочные поля" Рубакова, там фермионный раздел оставляет смешанное впечатление.)