2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Признак Дини раввномерной сходимости ф-х рядов.
Сообщение28.11.2022, 23:14 


04/10/22
10
Здравствуйте. Продолжаю разбираться с рядами, дошел до второго признака Дини.
Формулировка: Пусть ($\forall$n$\in$$\mathbb{N}$) $f_{n}(x)$ неотрицательны и непрерывны на компактном множестве E метрического пространства X. Если ряд $\sum\limits_{n=1}^{\infty}f_{n}(x)$ сходится на E к непрерывной на E функции $f(x)$, то он сходится равномерно на Е.
С практической точки зрения вроде всё очевидно, но все доказательства этого признака, которые я нашел, очень странные.
В лекциях ФИВТ МФТИ лектор Лукашов А. Л. приводит такое доказательство:
Положим $S_{n}(x)=\sum\limits_{k=1}^{n}f_{k}(x);$ Так как $f_{k}(x)\geqslant 0 \Rightarrow S_{n+1}(x) \geqslant S_{n}(x)$ и завершает на этом доказательство. Как по мне, это полная чепуха и тут отсутствует ещё как минимум половина доказательтсва про предел $S_{n}$, которая не является прям-таки очевидной.
В Смирнове приложено другое доказательство (которое переписывать очень долго). Вот так оно выглядит https://scask.ru/f_book_sm_math41.php?id=39 . И там используется (без объяснения) некоторая точка сгущения, которой ещё не было в курсе матана или алгебры в моем ВУЗе, и поэтому это доказательство тоже непонятно. В Зориче не нашел.
Поэтому прошу помочь либо с разъяснением того, что такое точка сгущения и почему мы ее используем в доказательстве Смирнова. Либо с поиском более понятного доказательства этого признака.
Заранее спасибо!

 Профиль  
                  
 
 Re: Признак Дини раввномерной сходимости ф-х рядов.
Сообщение28.11.2022, 23:32 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


16/07/14
8632
Цюрих
TiffanyBoy245 в сообщении #1571805 писал(а):
что такое точка сгущения
Просто другое название предельной точки.
TiffanyBoy245 в сообщении #1571805 писал(а):
Либо с поиском более понятного доказательства этого признака
Посмотрите у Рудина ("Основы математического анализа"). Там как раз в формулировке "Если последовательность непрерывных на компакте функций поточечно монотонно убывает и поточечно сходится к непрерывной функции, то сходимость равномерная". Возможно у Лукашова этот результат уже был, и он ссылался на него?

 Профиль  
                  
 
 Re: Признак Дини раввномерной сходимости ф-х рядов.
Сообщение28.11.2022, 23:59 


04/10/22
10
mihaild
Да, кажется у Рудина есть эта же теорема в немного иной формулировке. Прошелся по содержанию заодно и понял, что в этом учебнике очень хорошо скомпанованы теоремы, которые у нас были в этом семестре как раз. Спасибо за помощь!

 Профиль  
                  
 
 Re: Признак Дини раввномерной сходимости ф-х рядов.
Сообщение30.11.2022, 11:20 
Аватара пользователя


11/11/22
304
TiffanyBoy245 в сообщении #1571805 писал(а):
В лекциях ФИВТ МФТИ лектор Лукашов А. Л. приводит такое доказательство:
Положим $S_{n}(x)=\sum\limits_{k=1}^{n}f_{k}(x);$ Так как $f_{k}(x)\geqslant 0 \Rightarrow S_{n+1}(x) \geqslant S_{n}(x)$ и завершает на этом доказательство. Как по мне, это полная чепуха

Вероятнее, что полной чепухой является ваш пересказ лектора.

Пусть имеется последовательность непрерывных функций $f_n(x)\to f(x)$ -- поточечно на компактном метрическом пространстве $X\ni x$ сходящаяся к непрерывной функции $f(x)$. Причем $f_n\le f_{n+1}$. Допустим эта последовательность не сходится равномерно, тогда существует подпоследовательность, которую мы продолжим обозначать через $f_n$ такая, что $f(x_n)-f_n(x_n)>c>0$ и $x_n\to \tilde x$. Это получается просто из отрицания равномерной сходимости и того, что на компакте всякая последовательность содержит сходящуюся подпоследовательность.
Для всех $n$ начиная с некоторого и некоторого фиксированного $k$ верны оценки
$$c<f(x_n)-f_n(x_n)<f(\tilde x)+\varepsilon_1-f_n(x_n)<f_k(\tilde x)+\varepsilon_2+\varepsilon_1-f_n(x_n)<f_k(x_n)+\varepsilon_3+\varepsilon_2+\varepsilon_1-f_n(x_n)$$
Это противоречие т.к. $n>k$ и $f_k(x_n)>f_n(x_n)$. ЧТД

 Профиль  
                  
 
 Re: Признак Дини раввномерной сходимости ф-х рядов.
Сообщение30.11.2022, 12:11 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


16/07/14
8632
Цюрих
krum в сообщении #1572021 писал(а):
Вероятнее, что полной чепухой является ваш пересказ лектора.
Я бы предположил, что сформулированная вами теорема была в курсе раньше, а дальше аналогичное утверждение про ряды действительно разумно излагать со ссылкой на неё (а ссылку то ли лектор не упомянул - это бывает, то ли ТС не услышал, то ли что-то аналогичное).

 Профиль  
                  
 
 Re: Признак Дини раввномерной сходимости ф-х рядов.
Сообщение30.11.2022, 15:21 
Аватара пользователя


11/11/22
304
Видимо, так и было. Однако остается вопрос: зачем была приведена фамилия преподавателя?

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 6 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group