Кубооктаэдр, такой себе...

[kda_ximik]

День добрый!
Буду признателен за помощь!

Сын из школы программирования принес задачу.
Я понимаю, что предварительно нужно понять математическую сторону задачи, остальное доделает сам. Решил помочь, а не получается.
Задача ясна прямо из картинки. Наращиваем кубики, нужно посчитать общее число на $\boldsymbol{k}$-ой итерации:



Рассуждал так:
Фигура - симметричная. Сначала разберемся с центральным слоем.
1) При степени фигуры $0$ имеем $1$ кубик.
2) На первой итерации центральный кубик обрастает, а центральный слой представляет сообой крест из $5$ кубиков,
3) На второй итерации имеем $13$ кубиков
4) На следующей имеем $25$
То есть, имеем последовательность чисел кубиков в центральном слое при "обрастании":
$1$

$1+4$

$1+4+8$

$1+4+8+12$

Может быть, это не совсем строго , но легко увидел, по какому закону растет это число:

$S(k)=1+k(k+1)2$, где $k$-"степень" слоя.

Очевидно, что следующие слои (сверу и снизу от центрального и далее к полюсам) растут в соответсвии с той же последовательностью, но с запаздываением на одну итерацию. И число таких слоев есть $2k$
Пусть номер итерации для следуюшего слоя - $l$. Тогда число кубиков в этом слое

$S(l)=1+l(l+1)2$, где $l$-"степень" слоя.

"Степени" слоев связаны соотношением:

$l=k-1$

Тогда в ближайжайшем слое от центрального и в в следующем будет кубиков:

$S(k)=1+(k-1)k\cdot2$

$S(k)=1+(k-2)(k-1)2$

$\vdots$

Понятное дело, каждого слоя - по два, за исключением центрального. И так далее...
Вот тут дальше не представляю как правильно и строго считать.

Не судите строго, т.к. по своей специальности я - не математик

Спасибо!

[Aritaborian]

(Оффтоп)

Убил бы того, кто неуместно употребляет здесь термин «кубоктаэдр». Он хоть сам кубоктаэдр видел? Не думаю.

[kda_ximik]

согласен!
поэтому тему топика так и назвал - такой себе...

[mihaild]

Понятие декартовых координат уже известно? Если да, то можно заметить что на $k$-м шаге добавляются ровно кубики с координатами, удовлетворяющими равенству $|x| + |y| + |z| = k$, и, немного повозившись с арифметическими прогрессиями, посчитать.

[TOTAL]

kda_ximik в сообщении #1571590 писал(а):

$S(k)=1+(k-1)k\cdot2$

Для суммирования $S(k)$ запишите так

$$(k-1)k=\frac{(k+1)k(k-1)}{3}-\frac{k(k-1)(k-2)}{3}$$

[vlad239]

В принципе можно же и не суммировать самому, это ж задача по программированию. Может преподаватель как раз хочет, чтобы цикл для суммирования написали?

[photon]

Мне кажется, что, поскольку это задача по программированию, а не по математике, то и решать ее надо "по-программистски" - хранить в каком-то виде массив кубиков с их положениями в пространстве. На каждой следующей итерации проверять, какие грани у кубиков открытые и долепливать к ним новые кубики. Вывод общей математической формулы и простое вбивание ее в виде кода программы, конечно, вычислительно эффективнее, но не несет никакой пользы с точки зрения обучения программированию.

[photon]

Либо, действительно, считать просто по слоям в цикле, без заморочек с гранями. На каждой итерации появляется два новых слоя размером в один кубик, а каждый имеющийся слой обрастает "квадратом из кубиков" с длиной стороны на 1 больше, чем в предыдущей итерации, то есть с периметром-числом кубиков на 4 больше. Создаем вектор пар, где первое число пары отвечает за число кубиков в слое, второе - за число добавишихся на предыдущей итерации. Для нулевого уровня пара примет вид (1,0), а дальше в цикле для каждого элемента вектора увеличиваем второй элемент на 4 и получившееся значение прибавляем к первому, после того, как проделали это для всех пар, добавляем еще две новых пары-слоя (1,0). По выходу из цикла считаем сумму первых элементов в векторе. В силу симметрии, можно добавлять не по два слоя на каждой итерации, а по одному, но после выхода из цикла суммировать с удвоением всех чисел, кроме 0го, соответствующего центральному слою.

[Aritaborian]

Оставлю здесь, вдруг когда-нибудь кому-нибудь поможет. Это числа Деланнуа $D(3, n)$, они же — центрированные октаэдральные числа; последовательность A001845.