Упражнение из Беклемишева на собственные зн-ия/подпространс.

[Ye_Oz]

Упражнение 7 к главе VI, параграфа 5 учебника Беклемишева "Курс аналитической геометрии и линейной алгебры":

Цитата:

"Найдите собственные значения и собственные подпространства преобразования, заданного матрицей $A$

$$\begin{pmatrix} 3&-2&6 \\ -2&6&3 \\ 6&3&-2 \end{pmatrix}.$$

Собственно с нахождением собственных значений и соответствующих им собственных подпространств проблем не возникает, но возникает нюанс, который я не могу понять. А именно, в ходе решения получается, что одним из корней является собственное значение $\lambda_1 = 7$ (кратности 2). Составляем матрицу $A - 7E$:

$$\begin{pmatrix} -4&-2&6 \\ -2&-1&3 \\ 6&3&-9 \end{pmatrix}.$$

Т.к. её строки пропорциональны, то $Rg(A - 7E) = 1$. Следовательно, система $(A - 7E)\boldsymbol{x} = \boldsymbol{0}$ эквивалентна системе $\begin{pmatrix}2&1&-3\end{pmatrix}\boldsymbol{x} = \boldsymbol{0}$. Решениями этой системы есть $\boldsymbol{x} = {\begin{pmatrix}1&1&1\end{pmatrix}^T, \begin{pmatrix}1&-2&0\end{pmatrix}^T, \begin{pmatrix}0&3&1\end{pmatrix}^T}$. Но в решебнике написано, что эта система имеет фундаментальную матрицу

$$F_1 = \begin{pmatrix} 1&0 \\ -2&3 \\ 0&1 \end{pmatrix},$$

т.е. решение $\boldsymbol{x} = \begin{pmatrix}1&1&1\end{pmatrix}^T$ отброшено. Собственно и возникает вопрос, почему мы отбрасываем именно это решение и сохраняем два других?

[Slav-27]

Ye_Oz в сообщении #1570572 писал(а):

Решениями этой системы есть $\boldsymbol{x} = {\begin{pmatrix}1&1&1\end{pmatrix}^T, \begin{pmatrix}1&-2&0\end{pmatrix}^T, \begin{pmatrix}0&3&1\end{pmatrix}^T}$.

Неправильно, решения этой системы образуют плоскость, а в $F_1$ записан её базис, причём базис можно выбрать как угодно (например, из ваших 3 векторов подойдут любые 2).

[Ye_Oz]

Slav-27
Спасибо. А решением является плоскость именно потому, что размерность собственного подпространства равна кратности корня (в нашем случае 2)?

[Slav-27]

Ye_Oz
Да, если есть базис, состоящий из собственных векторов, то размерность собственного подпространства, соответствующего данному собственному значению, равна кратности этого собственного значения как корня характеристического многочлена.

[Ye_Oz]

Slav-27
Уяснил, огромное спасибо за помощь.

[svv]

Ye_Oz
Требование, чтобы существовал базис из собственных векторов, существенно. Исследуйте матрицу $\begin{bmatrix}7&1\\0&7\end{bmatrix}$.

[Ye_Oz]

svv
Так, интересно. В конечном счёте, имея собственное значение $\lambda = 7$ (кратности 2), мы приходим к следующей системе

$$\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix},$$

или

$$\left\{ \begin{array}{rcl} 0x_1 + 1x_2=0 \\ 0x_1 + 0x_2=0 \\ \end{array} \right..$$

Т.е. получается, что любые два собственных вектора будут линейно зависимы и, соответсвенно, не могут составить базис собственного подпространства (которое в данном случае имеет размерность 2). Иными словами, в данном случае не существует базиса из собственных векторов. Я правильно понял?

[svv]

Кратность собственного значения $\lambda=7$ тут равна двум, а соответствующее собственное подпространство (то есть линейная оболочка отвечающих этому с.з. собственных векторов) лишь одномерно.

[Ye_Oz]

svv
Т.е. суть тут в том, что размерность собственного подпространства совпадает с кратностью собственного значения лишь в том случае, если существует базис из собственных векторов с размерностью, равной кратности собственного значения, но в принципе, даже в случае их несовпадения, они являются как бы "решениями" данного преобразования? Иными словами, для того, чтобы преобразование имело собственные значения и соответствующие им собственные подпространства, не является необходимым равенство размерности собственного подпространство с кратностью собственного значения?

[svv]

Да. Можно сказать, Вы просто отвечаете на заданные вопросы. Скажем, в моём примере:
Какова кратность собственного значения $\lambda=7$ как корня характеристического многочлена? — Она равна 2.
Какова размерность соответствующего собственного подпространства? — Она равна 1.

Кстати, первая называется алгебраической кратностью собственного значения $\lambda$, вторая — его геометрической кратностью. В упражнении Беклемишева они совпадают, в моём примере не совпадают.

[Ye_Oz]

svv
Спасибо большое за уточненения - помогло хоть в какой-то мере углубить понимание.