Просто красивая задача

[Sonic86]

Задача простая, но мне очень понравилась:

Доказать, что:
$\sin(x) \sin(x+ \frac{\pi}{n}) \sin(x+ \frac{2 \pi}{n}) ... \sin(x+ \frac{(n-1) \pi}{n}) = A_n \sin (nx)$.
Найти $A_n$.

[TOTAL]

При $A_n=2^{1-n}$ cлева и справа стоя тригонометрические полиномы одинаковой степени с одинаковыми корнями и одинаковым коэффициентом при старшем члене. Поэтому они совпадают.

[Sonic86]

А если продифференцировать, от получим:
$\cos (x) + \cos (x+ \frac{\pi}{k}) + \cos (x+ \frac{2\pi}{k}) + ... + \cos (x+ \frac{(k-1) \pi}{k}) = \cos (kx)$.
Тоже красиво. Но это уже - общеизвестная формула.

[TOTAL]

Sonic86 писал(а):

А если продифференцировать, от получим:
$\cos (x) + \cos (x+ \frac{\pi}{k}) + \cos (x+ \frac{2\pi}{k}) + ... + \cos (x+ \frac{(k-1) \pi}{k}) = \cos (kx)$.
Тоже красиво. Но это уже - общеизвестная формула.

При $k=2$ получаем
$\cos (x) - \sin (x) = \cos (2x)$
???

[Sonic86]

Прошу прощенья, правильно так:

$k \ctg(x) = \ctg (x) + \ctg (x+ \frac{\pi}{k}) + ... + \ctg (x+ \frac{(k-1) \pi}{k})$

Если $\ctg$ заменить на $\tg$, будет тоже верно.

[Fraktalius]

Всем здравствуйте. Вот задача, близкая к теме: доказать, что
$ $$sin (nx) = 2^{n-1} \prod\limits_{k=1}^{n - 1} sin(x+ \frac {\pi k} {n})$$ $
Чего-то никак не вижу, как перейти от рассматриваемого произведения к этому. Может, кто знает?

Имеется промежуточный результат (кстати, из Яглома как раз). Доказывается, что уравнение
$ C_{2m}^1(1-x)^{m-1} - C_{2m}^3(1-x)^{m-2}x + C_{2m}^5(1-x)^{m-3}x^2 - ... = 0 $
Имеет корнями числа
$ \left{sin^2 \frac \pi {2m}; sin^2 \frac {2 \pi} {2m}; ...; sin^2 \frac {(m-1) \pi} {2m} \right}$ $

[diwert]

Fraktalius в сообщении #258304 писал(а):

Всем здравствуйте. Вот задача, близкая к теме: доказать, что
$sin (nx) = 2^{n-1} \prod\limits_{k=1}^{n - 1} sin(x+ \frac {\pi k} {n})$

А формула точно такая?
Например при $x=0$ слева ноль, а справа не ноль

[RIP]

Правильная формула, если я правильно помню, такая:

$$\frac{\sin nx}{\sin x}=2^{n-1}\prod_{k=1}^{n-1}\sin\Bigl(x+\frac{\pi k}n\Bigr).$$

[Fraktalius]

Да, всё верно, формула такая. Хотя можно и написать нижний предел произведения - ноль.
Но проблема в том, что эту формулу надо доказать по индукции, причём индукцию отдельно для чётных и нечётных n.
Используя многочлен из этого уравнения, это выводится довольно быстро. А по индукции ничего не вижу.