Найти кратчайшую ломаную среди трех данных.

[problemslover]

Доброго времени суток!

Возник такой вопрос по задаче, которая формулируется так: найти кратчайшую ломаную среди трех, показанных на рисунке.



Сам вопрос: можно ли и если да, то как это сделать без использования принципа отражения и без непосредственно счета длин звеньев с помощью теоремы Пифагора, например. Ну и, разумеется, решить так, чтобы можно было объяснить 5-6-класснику. Прошу вас высказать свои соображения по данной теме, если таковые имеются.

[provincialka]

Непонятно, чем отражение-то не угодило? Самая лучшая идея для такой задачи. Зачем городить что-то другое...

[мат-ламер]

Принцип отражения не так уж и очевиден школьнику. Можно нарисовать точку $B'$ , которая будет расположена симметрично точки $B$ относительно жирной прямой. Затем соединить точки A и $B'$ . Далее, уже более очевидно, что длина отрезка прямой, соединяющей эти две точки будет меньше сумм длин двух отрезков, которые соединяют эти две точки, но не лежат на одной прямой (неравенство треугольника). Далее ещё надо заметить, что длины отрезков $PB$ и $PB'$ (где $P$ - произвольная точка на жирной прямой) совпадают.

[wrest]

мат-ламер в сообщении #1569089 писал(а):

Далее ещё надо заметить, что длины отрезков $PB$ и $PB'$ (где $P$ - произвольная точка на жирной прямой) совпадают.

Это надо сразу заметить, а не потом, на мой взгляд. В этом же и суть зеркального отражения (осевой симметрии). Т.е. мы сначала строим вторые звенья ломаных отраженными относительно прямой, убеждаемся что длины их отражений равны длинам исходных звеньев (равенство треугольников по двум сторонам и углу), и потом уже рассуждаем что прямая самый короткий путь между точками.

-- 06.11.2022, 12:54 --

problemslover в сообщении #1569065 писал(а):

Сам вопрос: можно ли и если да, то как это сделать без использования принципа отражения и без непосредственно счета длин звеньев с помощью теоремы Пифагора, например.

Можно циркулем и линейкой без делений убедиться. Продолжаем линейкой отрезок AM проводя луч AM, из M как из центра проводим окружность радиусом MB и отмечаем её пересечение с прямой AM в точке M', дальше стрoим окружность АМ' (этот радиус равен длине ломаной AMB) и ещё две AN' и AK' и смотрим какая окружность внутри двух других.

[problemslover]

provincialka в сообщении #1569078 писал(а):

Непонятно, чем отражение-то не угодило? Самая лучшая идея для такой задачи. Зачем городить что-то другое...

provincialka, использовать "отражение", безусловно, отличная идея, но только если одна из точек лежит так, что угол отражения в ней равен углу преломления. Конечно, в этой задаче это так, но так может быть не всегда (подвинем N на клетку влево) - эта была одна из причин, почему меня не интересовал этот подход.

wrest предложил более универсальный подход, ведь теперь можно отказаться и от клетчатой бумаги, и от того, чтобы наикратчайшее сумма расстояний между точками достигалась, и от того, чтобы честно считать длины звеньев в случае, когда мы взяли точек побольше. Спасибо!

[Doctor Boom]

problemslover в сообщении #1569151 писал(а):

provincialka, использовать "отражение", безусловно, отличная идея, но только если одна из точек лежит так, что угол отражения в ней равен углу преломления.

what? Совсем не обязательно, главное понимать, что чем больше катет, тем больше гипотенуза (в таком случае можно было бы провести пунктирной линией истинную кратчайшую прямую)

problemslover в сообщении #1569151 писал(а):

Конечно, в этой задаче это так, но так может быть не всегда (подвинем N на клетку влево) - эта была одна из причин, почему меня не интересовал этот подход.

Это самый простой подход

problemslover в сообщении #1569151 писал(а):

wrest предложил более универсальный подход, ведь теперь можно отказаться и от клетчатой бумаги, и от того, чтобы наикратчайшее сумма расстояний между точками достигалась, и от того, чтобы честно считать длины звеньев в случае, когда мы взяли точек побольше. Спасибо!

Только теперь от школьника ускользнет очень важная и полезная идея. В методе отражений тоже не нужна ни клетчатая бумага, ни достижение наикратчайшего расстояния, ни счет суммы длин

[svv]

Я понимаю "метод отражения" так. Строим точку $B'$, симметричную $B$ относительно заданной прямой $\ell$. Пусть $N\in \ell$, тогда $AN+NB=AN+NB'$. Правая часть минимальна, когда $N\in AB'$, и равна $AB'$.
Для решения задачи никаких углов падения и отражения упоминать не нужно. "Отражается" тут отрезок $NB$ относительно прямой $\ell$.
Думаю, так же понимают метод provincialka и wrest.

[Doctor Boom]

svv
Интересно, а если нам нужно сравнить ломаные с $AB'$? Допустим среди них нет минимальной, тогда они различаются высотой своего перпендикуляра (из звена ломаной) на прямую $AB'$, и расположением точки проектирования на прямой $AB'$, а дальше как?

[svv]

Я не очень понял, что значит "сравнить" — определить, какой из трёх случаев
$AB'<AN+NB',\quad AB'=AN+NB',\quad AB'>AN+NB'$
имеет место?

Википедия в статье Неравенство треугольника писал(а):

Неравенство
$AC \leqslant AB+BC$
выполняется в любом треугольнике $\triangle ABC$. Причём равенство $AC = AB+BC$ достигается только тогда, когда треугольник вырожден, и точка $B$ лежит строго между $A$ и $C$.

[Doctor Boom]

svv в сообщении #1569163 писал(а):

Я не очень понял, что значит "сравнить" — определить, какой из трёх случаев
$AB'<AN+NB',\quad AB'=AN+NB',\quad AB'>AN+NB'$
имеет место?

Нет, сравнить произвольные $AN_1+N_1 B'$ и $AN_2+N_2 B'$

-- 07.11.2022, 01:14 --

Хотя все точки $N$ будут на одной прямой лежать, и чем дальше от пересечения $AB'$ с $\ell$, тем ломанная длиннее (как это просто показать?). Просто я думал об общем случае, не связанном с отражением (как сравнить между собой две произвольные ломаные из двух звеньев?)

[wrest]

Doctor Boom в сообщении #1569164 писал(а):

(как сравнить между собой две произвольные ломаные из двух звеньев?)

Напрямую, конечно, без всяких хитростей. Параллельным переносом и поворотом выпрямить обе и сравнить. Ну или линейкой померить.

[Doctor Boom]

wrest в сообщении #1569166 писал(а):

Напрямую, конечно, без всяких хитростей. Параллельным переносом и поворотом выпрямить обе и сравнить. Ну или линейкой померить.

Есть частные случаи, если провести прямую между двумя общими точками ломаных, то длина ломаной будет увеличиваться как по мере удаления ее точки изгиба по перпендикуляру к этой прямой, так и при параллельном смещении вдоль этой прямой при удалении от ее центра

[wrest]

Doctor Boom в сообщении #1569162 писал(а):

Допустим среди них нет минимальной, тогда они различаются высотой своего перпендикуляра (из звена ломаной) на прямую $AB'$, и расположением точки проектирования на прямой $AB'$, а дальше как?

Ну особо никак. Геометрическое место точек сочленения такой ломаной, при условии неподвижных концов и фиксированной длины лoманой -- эллипс с фокусами в этих концах (по определению эллипса). "На глаз", например по высоте над большой осью, как вы предлагаете, сравнить не выйдет.
Вот например. Высота синей и красной ломаных одна и та же, но синяя ломаная заметно короче.



А тут они равны:

[Doctor Boom]

wrest в сообщении #1569169 писал(а):

"На глаз", например по высоте над большой осью, как вы предлагаете, сравнить не выйдет.

Там не только по высоте (про высоту я писал только в случае, если звеньи ломаных лежат на одном перпендикуляре к отрезку $AB$)

wrest в сообщении #1569169 писал(а):

Вот например. Высота синей и красной ломаных одна и та же, но синяя ломаная заметно короче.

Так это мой второй критерий

Doctor Boom в сообщении #1569168 писал(а):

так и при параллельном смещении вдоль этой прямой при удалении от ее центра

точка $C$ ближе к центру $AB$, поэтому синяя кривая короче (при условии, что $CD$ параллелен $AB$)

wrest в сообщении #1569169 писал(а):

А тут они равны:

А тут уже по данным двум критериям не однозначно - точка $D$ выше, но ближе к середине $AB$, что перетянет непонятно.
Просто можно ли какие-то еще критерии придумать, по углам там

[svv]

Вам подойдёт геометрическое построение, которое ответит на вопрос? Например, с помощью циркуля и линейки без делений.