Условие бесконечности поля в одной задаче по линейной алгебр

[Kuga]

Пусть линейный оператор $\mathcal{A}$, действует в векторном пространстве $V$ над бесконечным полем $\mathcal{K}$.
Обозначим через $\mu_{\mathcal{A}}(t)$ минимальный многочлен оператора $\mathcal{A}$, и через $\mu_{\mathcal{A},v}(t)$ минимальный аннулирующий многочлен оператора $\mathcal{A}$ относительно вектора $v\in V$ (т.е. минимальный многочлен от $\mathcal{A}$, который аннулирует вектор $v\in V$ ). Доказать что существует $a\in V$ такой что $\mu_{\mathcal{A},a}(t)=\mu_{\mathcal{A}}(t)$.

Я решил задачу, но в моем решении нигде не используется то, что поле $\mathcal{K}$ бесконечно. Но в официальном решении, приведенном во втором томе Кострикина, задача 2.2.9, используется этот факт. Никакие контрпримеры не приходят в голову.

Вопрос. Действительно ли тут необходимо условие бесконечности поля $\mathcal{K}$ ?

[vpb]

Kuga в сообщении #1567874 писал(а):

Действительно ли тут необходимо условие бесконечности поля $\mathcal{K}$ ?

Нет, поле может быть любым. Матрицу над любым полем можно привести к прямой сумме т.наз. циклических блоков, а для прямой суммы циклических блоков нужное утверждение несложно усмотреть.

[Kuga]

Спасибо. Вопрос закрыт.