Копределы представимых функторов

[EminentVictorians]

Не первый день уже не могу вкурить пункт 3.7. у Маклейна. Неравномерно сложные параграфы попадались и раньше, но этот совсем какой-то зубодробительный. Приведу цитату прямо с начала.

Маклейн, стр.92 писал(а):

3.7. Копределы представимых функторов
Полезность представимых функторов $\operatorname{hom}(d, -)$ хорошо видна из следующего основного результата о функторах со значениями в категории множеств.
Теорема 1. Любой функтор $K:D \to \mathbf{Set}$ из малой категории $D$ в категорию множеств можно представить (каноническим образом) как копредел диаграммы представимых функторов $\operatorname{hom}(d, -)$ для объектов $d$ из $D$.
Доказательство: Вначале построим для данного $K$ искомую категорию диаграмм (для копредела) $J$ в виде так называемой категории элементов из $K$. А именно, это категория запятой $(1 \downarrow K)$ (см. диаграмму (3) в § 2.6), в которой объектами служат пары $(d, x)$, где $d \in D, x \in K(d)$, а стрелками $f:(d,x) \to (d', x')$ - те стрелки $f:d \to d'$ из $D$, для которых $K(f)x = x'$ (более кратко, $f \ast x = x'$). Мы утверждаем теперь, что данный функтор $K$ является копределом диаграммы в категории $(1 \downarrow K)$, которая соответствует функтору

$$M: J^D \to \mathbf{Set}^D$$

Каждый объект $(d, x)$ переходит в $\operatorname{hom}$-функтор $D(d, -)$, а каждая стрелка $f$ - в индуцированное естественное преобразование $f^{*}: D(d', -) \to D(d, -)$. В силу изоморфизма Йонеды

$$y^{-1}: K(d) \to Nat(D(d, -), K)$$

существует конус в категории $\mathbf{Set}^D$ с основанием $M$ и вершиной $K$, который на нижеприведенной диаграмме изображен стрелками, идущими в $K$ (внизу слева):

$$\xymatrix{J: \ar[d]_{M}& (d, x) \ar[d]_{} & (d', x') \ar[d]^{} \ar[l]_{f^{*}} \\\mathbf{Set}^D: & D(d, -) \ar[d]_{y^{-1}x} \ar[dr]_{y^{-1}x'} & D(d', -) \ar[l]_{f^{*}} \ar[d]^{y^{-1}z'} \ar[dl]_{y^{-1}z} \\ . & K & L \ar[l]^{\theta}}$$

$$f_{*}x = x', f:d \to d'$$

Мы утверждаем, что этот конус определяет копредел для $D(d, -)$.

Мне тут непонятно большое число вещей, поэтому буду разбираться последовательно.

1. Зачем писать словосочетание "представимый функтор $\operatorname{hom}(d, -)$"?

Цитата:

Полезность представимых функторов $\operatorname{hom}(d, -)$ хорошо видна

Цитата:

как копредел диаграммы представимых функторов $\operatorname{hom}(d, -)$ для объектов

Представимый функтор - это функтор, в который существует естественный изоморфизм из ковариантного $\operatorname{hom}$-функтора. Возьмем, собственно, сам ковариантный $\operatorname{hom}$-функтор $\operatorname{hom}(d, -)$. Очевидно же, что он представимый, т.к. в него существует естественный изоморфизм из него же самого - просто тождественный изоморфизм (или по-другому единичная стрелка, если рассматривать этот $\operatorname{hom}$-функтор как объект категории функторов). Правильно ли я проинтерпретировал это словосочетание "представимый функтор $\operatorname{hom}(d, -)$"? А то вдруг тут имеется в виду что-то другое.

2.

Цитата:

Вначале построим для данного $K$ искомую категорию диаграмм (для копредела) $J$ в виде так называемой категории элементов из $K$. А именно, это категория запятой $(1 \downarrow K)$

Как строится категория запятой $(1 \downarrow K)$ мне понятно. Верно ли, что в этом фрагменте текста утверждается, что $J = (1 \downarrow K)$?

[Slav-27]

Вы всё поняли правильно, а в книге опечатка, должно быть не $J^D$, а $J^\circ$ (категория, противоположная $J$).

[EminentVictorians]

Slav-27 в сообщении #1567377 писал(а):

в книге опечатка, должно быть не $J^D$, а $J^\circ$ (категория, противоположная $J$).

До этого места мне еще как-то добраться надо

Я просто вот почему к категории $J$ прицепился. Рассмотрим общую конструкцию копредела (в обозначениях Маклейна). Все начинается с пары категорий $J$ и $C$, где $J$ - категория индексов (обычно малая и часто конечная). Копредела в вакууме не бывает, копредел - это всегда копредел какого-то функтора $F: J \to C$. И этот копредел функтора $F$ - это какой-то элемент $r \in C$: $Colim F = r$.

Мне более наглядно представлять копредел, как универсальную конструкцию. Мы теперь рассматриваем категорию $C$, категорию функторов $C^J$ и диагональный функтор $\Delta: C \to C^J$. Копредел - это универсальная стрелка из $F \in C^J$ в $\Delta$. Любая универсальная стрелка - это начальный объект в понятно какой категории запятой, а значит это тройка. Поэтому копредел можно представлять как тройку $(F, u, r)$, где $u:F \dot{\to} \Delta r$ - естественное преобразование (стрелка в $C^J$), а $r$ - это и есть прообраз элемента $\Delta r$ (сам $\Delta r$ - это элемент из $C^J$, т.е. функтор из $C$ в $J$: он переводит все элементы из $J$ в $r \in C$, т.е. как бы "тождественный" функтор).

Я хотел бы в первую очередь понять, связан ли выбор буквы $J$ из цитаты с буквой $J$ в конструкции копредела? Иными словами, категория $J = (1 \downarrow K)$ из цитаты - это категория индексов? Мне так не кажется, но я пока плохо в этот параграф въехал.

Маклейн в цитате к тому же пишет

Цитата:

Вначале построим для данного $K$ искомую категорию диаграмм (для копредела) $J$ в виде так называемой категории элементов из $K$.

Тоже непонятный текст. Диаграмма - это вроде (в обозначениях из конструкции копредела) просто стрелка из $C^J$. Что такое "категория диаграмм" я не знаю (или пропустил при чтении). Я бы называл диаграммой образ функтора, ну или сам функтор в конце концов. Тогда "категория диаграмм" это могла бы быть, например, $C^J$. А у Маклейна вообще идет отождествление категории диаграмм с категорией индексов. А это супер странный выбор названия как по мне.

[Slav-27]

Да, $J=(1\downarrow K)$. "Категория диаграмм" написано неправильно, у Маклейна "diagram category", что двусмысленно, так как может обозначать либо $J$, либо категорию функторов из неё, -- у переведённого текста остался только один смысл, но не тот, который надо.

[EminentVictorians]

Slav-27 в сообщении #1567432 писал(а):

Да, $J=(1\downarrow K)$.

И эта $J$ не является категорией индексов в конструкции из цитаты. Категорией индексов является $J^{\operatorname{op}} = (1\downarrow K)^{\operatorname{op}}$ мне кажется.

[EminentVictorians]

Slav-27, а можно Вас попросить прокомментировать вот какую ситуацию. Точнее даже ход мыслей.

Я рассуждал следующим образом. Теорема утверждает, что любой функтор $K:D \to \mathbf{Set}$ можно представить как копредел диаграммы функторов $\operatorname{hom}(d, -)$ для объектов $d$ из $D$. Т.е. по сути, теорема утверждает, что для функтора $K$ существует копредельный конус с вершиной в нем. Я стал думать, в какой категории будет вообще этот конус нарисован. Это легко понять: в этой категории $K$ должен быть объектом, а значит этот конус будет нарисован в категории $Set^D$. Даже больше: можно ведь посмотреть не только на вершину конуса, но еще и на основание. Основание состоит из функторов $D(d, -)$ для разных $d \in D$. А это тоже функторы из $D$ в $Set$. Так что сомнений в том, что конус будет нарисован в категории $Set^D$ у меня нету.

Дальше я стал думать, какой должна быть категория индексов. Сначала вспоминаем, что копредела в вакууме не бывает: копредел - он всегда копредел какого-то функтора (действующего из категории индексов). Функтора, про который можно сказать, что он определяет основание того самого копредельного конуса. Но основание конуса состоит из объектов $D(d, -)$ для разных $d \in D$. Очевидно возникает мысль рассмотреть в качестве категории индексов просто категорию $D^{\operatorname{op}}$ (а не эту странную категорию $J^{\operatorname{op}} = (1\downarrow K)^{\operatorname{op}}$ про которую вообще фиг догадаешься).

Вот, собственно, в этом и заключается мой вопрос. Почему бы в качестве категории индексов не взять просто $D^{\operatorname{op}}$? Я не вижу, чтобы что-то из-за этого поломалось.

[Slav-27]

EminentVictorians в сообщении #1567746 писал(а):

Почему бы в качестве категории индексов не взять просто $D^{\operatorname{op}}$?

Попробуйте записать своё доказательство. Для начала хотя бы предполагаемый универсальный конус с основанием $K$: какая будет стрелка из $D(d,\cdot)$, проиндексированного объектом $d$, в $K$?

[EminentVictorians]

Slav-27 в сообщении #1567767 писал(а):

какая будет стрелка из $D(d,\cdot)$, проиндексированного объектом $d$, в $K$?

Сначала я хотел написать, что стрелки в $(1\downarrow K)^{\operatorname{op}}$ - это же стрелки из $D^{\operatorname{op}}$, а мы же ставим (в оригинальном доказательстве) в соответствие стрелкам из $(1\downarrow K)^{\operatorname{op}}$ естественные преобразования $D(d', -) \dot{\to} D(d, -)$, поэтому и стрелкам из $D^{\operatorname{op}}$ будем ставить в соответствие то же самое, что мы ставили бы этим стрелкам, будь они стрелками из $(1\downarrow K)^{\operatorname{op}}$. Но потом я понял, что стрелок в $(1\downarrow K)^{\operatorname{op}}$ "меньше", чем стрелок в $D^{\operatorname{op}}$! Так что дело как минимум в этом.

В целом, саму конструкцию я понял. Детали доказательства наверное понял не все, но для начального знакомства нормально.