Условие учебной задачи по теории множеств

[gefest_md]

Кажется нашёл неточность в условии задачи в книге D. Cunningham, Set theory, упр. 3.2 (13), стр. 55. Если я прав, можно ли несложно переделать упражнение чтобы его решить?

Цитата:

A relation $R$ on $A$ is said to be antisymmetric if for all $x\in A$ and $y\in A$, whenever $\langle x,\, y\rangle\in R$ and $\langle y,\, x\rangle\in R,$ then $x = y$. Prove that a relation $R$ on $A$ is antisymmetric if and only if $R\circ R^{-1}\subseteq I_A$ (see page 44).

На странице 44 приводится определение тождественного отношения.

Контрпример. Отношение $\leqslant$ на множестве $\mathbb{N}$ антисимметрично, но $R\circ R^{-1}\nsubseteq I_A$, потому что $ \langle 2,\,3\rangle\in R\circ R^{-1}$, но $\langle 2,\,3\rangle\notin I_A.$

[svv]

gefest_md в сообщении #1567590 писал(а):

Если я прав, можно ли несложно переделать упражнение чтобы его решить?

Да, Вы правы, и можно переделать:
Prove that a relation $R$ on $A$ is antisymmetric if and only if $R\cap R^{-1}\subseteq I_A$.

[gefest_md]

svv, спасибо.