Замена переменной и подстановка в неопределённом интеграле

[gefest_md]

В некоторых учебниках только одна теорема, где буквой $f$ обозначены разные функции в зависимости от метода: подстановки или замены переменной. Например Кудрявцев, Краткий курс, 2015, том 1, формулы 19.15 и 19.16.

Можно каждому методу посвятить отдельную теорему.

Найти $ \int f(x) \,\textrm{dx}$.

Метод подстановки.
Если $ \int g(t) \,\textrm{dt}= G(t)+C_1$, то $\int g(\varphi(x)) \varphi’(x) \,\textrm{dx}= G(\varphi(x))+C_2$.

Метод замены переменной. Ищем функцию $x=\varphi(t)$.
Если $\int f(\varphi(t)) \varphi’(t) \,\textrm{dt}= F(t)+C_1 $, то $\int f(x) \,\textrm{dx}= F(\varphi^{-1}(x))+C_2$.