Определитель невырожденной матрицы через единичную

[notauser1]

Читал Кострикина и не понял следующую вещь: в книге написано, что для если над матрицей делать элементарные преобразования строк(столбцов), то максимум поменяется знак определителя, но не его значение. А поскольку определитель ступенчатой матрицы равен произведению элементов на главной диагонали, то и у исходной матрицы определитель равен этому же значению с точностью до знака. Но в таком случае непонятно вот что - если следовать такой логике, то всякую невырожденную матрицу можно привести к единичной с помощью элементарных преобразований, при этом значение определителя останется тем же с точностью до знака. Но определитель единичной матрицы равен единице, следовательно определитель всякой невырожденной матрицы равен 1 или -1. В чем ошибка? Заранее спасибо!

[Null]

Если разрешается умножение строки/столбца на число - определитель меняется, если не разрешается, то к единичной матрице привести не всегда возможно.

[Евгений Машеров]

notauser1 в сообщении #1567175 писал(а):

в книге написано, что для если над матрицей делать элементарные преобразования строк(столбцов), то максимум поменяется знак определителя, но не его значение.

Именно так написано? Дословно? Тогда просьба и привести, что автор понимает под "элементарными преобразованиями". Потому, как обычно в них включают и умножение строки (столбца) на число, которое определитель точно изменит. Или всё же формулировка иная?

[artempalkin]

Null в сообщении #1567177 писал(а):

если не разрешается, то к единичной матрице привести не всегда возможно.

Я грешным делом подумал, что возможно тогда и только тогда, когда определитель равен плюс или минус единице, но, видимо, это не так. Видимо, могут быть случаи, когда определитель равен единице, а матрицу все равно к единичной не приведешь с помощью *менять местами строки*, *прибавлять к одной строке линейную комбинацию других строк*

[Евгений Машеров]

artempalkin в сообщении #1567196 писал(а):

Видимо, могут быть случаи, когда определитель равен единице, а матрицу все равно к единичной не приведешь с помощью *менять местами строки*, *прибавлять к одной строке линейную комбинацию других строк*

$\begin{pmatrix} 0.5 & 0\\ 0 & 2 \end{pmatrix}$

[svv]

$\begin{bmatrix}0.5&0\\0&2\end{bmatrix}$
Прибавим к 1-му столбцу 2-й, умноженный на $0.5$ (это не умножение столбца на коэффициент, а только прибавление к нему линейной комбинации других столбцов).
$\begin{bmatrix}0.5&0\\1&2\end{bmatrix}$
Прибавим к 1-й строке 2-ю, умноженную на $0.5$.
$\begin{bmatrix}1&1\\1&2\end{bmatrix}$
Вычтем из 2-го столбца 1-й.
$\begin{bmatrix}1&0\\1&1\end{bmatrix}$
Вычтем из 2-й строки 1-ю.
$\begin{bmatrix}1&0\\0&1\end{bmatrix}$

[Евгений Машеров]

Ибо ваистену...
Ну, тогда пусть
$\begin{bmatrix}\pi&0\\0&\frac 1 \pi\end{bmatrix}$

[bot]

$$\begin{pmatrix}x&0\\0&\frac 1 x\end{pmatrix}\to\begin{pmatrix}x&0\\1&\frac 1 x\end{pmatrix}\to \begin{pmatrix}0&-1\\1&\frac 1 x\end{pmatrix}\to \begin{pmatrix}0&-1\\1&0\end{pmatrix}\to\begin{pmatrix}1&-1\\1&0\end{pmatrix} \to\begin{pmatrix}1&-1\\0&1\end{pmatrix} \to\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}$$

[EminentVictorians]

svv в сообщении #1567238 писал(а):

$\begin{bmatrix}0.5&0\\0&2\end{bmatrix}$
Прибавим к 1-му столбцу 2-й, умноженный на $0.5$ (это не умножение столбца на коэффициент, а только прибавление к нему линейной комбинации других столбцов).
$\begin{bmatrix}0.5&0\\1&2\end{bmatrix}$
Прибавим к 1-й строке 2-ю, умноженную на $0.5$.
$\begin{bmatrix}1&1\\1&2\end{bmatrix}$
Вычтем из 2-го столбца 1-й.
$\begin{bmatrix}1&0\\1&1\end{bmatrix}$
Вычтем из 2-й строки 1-ю.
$\begin{bmatrix}1&0\\0&1\end{bmatrix}$

Можно даже без столбцов, только с помощью строчек:

$\begin{bmatrix}0.5&0\\0&2\end{bmatrix}$
Прибавим к 2-ой строчке 1-ую
$\begin{bmatrix}0.5&0\\0.5&2\end{bmatrix}$
Прибавим к 1-й строке 2-ю
$\begin{bmatrix}1&2\\0.5&2\end{bmatrix}$
Прибавим к 2-й строке 1-ю, умноженную на $-0.5$
$\begin{bmatrix}1&2\\0&1\end{bmatrix}$
Прибавим к 1-й строке 2-ю, умноженную на $-2$
$\begin{bmatrix}1&0\\0&1\end{bmatrix}$

artempalkin в сообщении #1567196 писал(а):

Видимо, могут быть случаи, когда определитель равен единице, а матрицу все равно к единичной не приведешь с помощью *менять местами строки*, *прибавлять к одной строке линейную комбинацию других строк*

Мне кажется, такую матрицу (с определителем $=1$) всегда можно привести к единичной с помощью этих двух элементарных преобразований. Сначала превращаем ее в верхнетреугольную, потом в диагональную, а потом в единичную.

[Евгений Машеров]

bot в сообщении #1567260 писал(а):

$$\begin{pmatrix}x&0\\0&\frac 1 x\end{pmatrix}\to\begin{pmatrix}x&0\\1&\frac 1 x\end{pmatrix}\to \begin{pmatrix}0&-1\\1&\frac 1 x\end{pmatrix}\to \begin{pmatrix}0&-1\\1&0\end{pmatrix}\to\begin{pmatrix}1&-1\\1&0\end{pmatrix} \to\begin{pmatrix}1&-1\\0&1\end{pmatrix} \to\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}$$

Уже первое преобразование выходит за рамки "элементарных".

[EminentVictorians]

Евгений Машеров в сообщении #1567275 писал(а):

Уже первое преобразование выходит за рамки "элементарных".

Почему? Прибавили к первому столбцу второй, умноженный на $x$. Вроде бы, обычное элементарное преобразование (правда столбцов). Или, по-другому, к второй строке прибавили первую, умноженную на $\frac{1}{x}$.

[RIP]

Да даже в общем случае: для двух строчек (или столбцов) $a,b$ можно

$$a, b \to a, b+\lambda a \to -\frac{1}{\lambda}b, b+\lambda a \to -\frac{1}{\lambda}b, \lambda a.$$

Повторяя процедуру, получаем $\lambda\mu a, \frac{1}{\lambda\mu}b$ с произвольными $\lambda,\mu\ne0$.
То есть с помощью преобразований вида «к строке прибавить другую, умноженную на число» из строк $a,b$ можно получить $b,-a$ и $\lambda a,\frac{1}{\lambda}b$, поэтому любую матрицу с определителем $1$ можно привести к единичной, используя только преобразования такого вида (даже без использования перестановок).