Интенсивность процесса Пуассона и интуиция

[Sdy]

Вопрос касается вот этой темы - topic63081.html. , немного по мотивам этой темы - topic150703.html
В ней ставится следующая задача:
Страховщик имеет $2$ портфеля договоров страхования. Страховые случаи по первому и второму портфелю наступают в соответствии с пуассоновским процессом со средним $3$ и $5$ случаев в год соответственно. Эти два процесса независимы. Найти вероятность того, что по первому портфелю произойдёт $3$ страховых случая раньше, чем $3$ случая по второму.
И получается ответ: вероятность того что по первому портфелю произойдёт $3$ страховых случая раньше, чем $3$ случая по второму равна $0,7247924804...$.
Я решал задачу ровно также, как её решали в теме и получил тот же ответ, ошибки найти не могу.
Но при этом интенсивность первого процесса Пуассона (первого портфеля) меньше, чем интенсивность второго процесса Пуассона (второго портфеля).
А интенсивность это математическое ожидание количества страховых случаев, наступающих за год.
И вот в первом портфеле в среднем наступает меньше страховых случаев, чем во втором портфеле, но при этом вероятность того что третий страховой случай в первом портфеле произойдёт раньше, чем во втором, больше, чем вероятность того что третий страховой случай наступит раньше во втором портфеле.
Мне кажется, что это противоречит интуиции. Но возможно, у меня неправильная интуиция (как-то более строго подтвердить свои наблюдения кроме комментария выше у меня не получается), поэтому и была создана эта тема.

[B@R5uk]

Sdy в сообщении #1566688 писал(а):

вероятность того что по первому портфелю произойдёт $3$ страховых случая раньше, чем $3$ случая по второму равна $0,7247924804...$

Быстрый численный эксперимент выдал мне это самое число...

Используется синтаксис Matlab M

%   dxdy.ru/topic150984.html
clc
clearvars
format compact

snum = 1000000;
enum = 3;
lambda1 = 3;
lambda2 = 5;

samples1 = -sum (log (rand (snum, enum)), 2) / lambda1;
samples2 = -sum (log (rand (snum, enum)), 2) / lambda2;
counts = sum (samples1 > samples2);

disp ([counts; sqrt(counts)] / snum)
 

Используется синтаксис Text

    0.7247
    0.0009
>> |

... но только для совершенно противоположного события. То есть, всё в порядке с вашей интуицией.

Более того, давайте рассмотрим предельный контрольный случай: по первому пакету 0 событий в год, по второму — 1. Время ожидания до первого события по первому пакету будет бесконечным, так как они никогда не происходят, то есть с вероятностью 1 три события наступят раньше по второму пакету, искомая вероятность будет нулевой. Что весьма интуитивно понятно. Так же рассмотрим случай 1—1, вероятность будет 0,5 (численно подтверждается, по формулам если считать, то это число должно выходить в силу симметричности распределения относительно перестановки пакетов). Теперь, по монотонности рассматриваемой вероятности (что вполне интуитивно напрашивается) для случая 3/5—1 (который эквивалентен случаю 3—5) должно получаться

$$0=p(0,\;1)<p\left(\frac{3}{5},\;1\right)=p(3,\;5)<p(1,\;1)=\frac{1}{2}$$

[Sdy]

B@R5uk, спасибо за ответ.
Действительно, в том решении неправильные пределы интегрирования. $y$ должен меняться от $x$ до $+\infty$, а $x$ от $0$ до $+\infty$.
И тогда получаем:

$$843.75 \int_0^{+\infty}\int_x^{+\infty}x^2e^{-3x}y^2e^{-5y}\;dy\;dx = 0.27520751953125...$$

Меня просто сильно смутило, что в той теме другой участник форума также подтвердил правильность решения, и я скорее старался понять почему оно правильное, чем почему оно неправильное, после того как решил сам.