Естественная биекция

[EminentVictorians]

Маклейн, стр. 73; Лемма Йонеды писал(а):

Предложение 1. Для данного функтора $S: D \to C$ пара $\langle r, u: c \to Sr \rangle$ универсальна из $c$ в $S$, если и только если функция, отображающая каждую $f':r \to d$ в $Sf' \circ u: c \to Sd$, является биекцией $\operatorname{hom}$-множеств

$$D(r, d) \cong C(c, Sd)$$

Эта биекция естественна по $d$. Обратно, для данных $r$ и $c$ любой естественный изоморфизм (1) соответствует в указанном смысле единственной стрелке $u: c \to Sr$, для которой пара $\langle r, u\rangle$ универсальна из $c$ в $S$.

Мне в этой теореме непонятен фрагмент

Цитата:

Эта биекция естественна по $d$.

Я знаю, что такое естественное преобразование. Для него нужны две категории $B$ и $C$ и 2 функтора $S, T: C \to B$. Тогда, грубо говоря (!) на естественное преобразование можно смотреть как на набор стрелок в категории $B$. Я знаю, что такое естественный изоморфизм. Это естественное преобразование, такое, что все вот эти стрелки из $B$ обратимы в $B$. На естественное преобразование можно смотреть как на морфизм функторов.

Но здесь какая-то естественная биекция... Что это такое? Тут нету никакой пары функторов. Биекция здесь вообще между $\operatorname{hom}$-множествами. Ладно бы вместо этой биекции был бы какой-нибудь набор стрелок из какой-нибудь категории. Это хоть немного напоминало бы естественное преобразование.

Более того, она тут естественна по $d$. Я, видимо, что-то пропустил, потому что совсем не понимаю, что значит для функции быть естественной по элементу из категории.

[Slav-27]

EminentVictorians в сообщении #1565852 писал(а):

Тут нету никакой пары функторов. Биекция здесь вообще между $\operatorname{hom}$-множествами.

Есть, $\mathrm{hom}$-множество -- это функтор (на морфизмы действует композицией).

[EminentVictorians]

Slav-27 в сообщении #1565907 писал(а):

Есть, $\mathrm{hom}$-множество -- это функтор (на морфизмы действует композицией).

Не могу понять, из какой категории в какую этот функтор. Я знаю, как из $\operatorname{hom}$-множеств сделать категорию, в которой они будут объектами; знаю, как из функторов сделать объекты. Но как превратить $\operatorname{hom}$-множество в функтор - такого никогда не видел.

У меня еще вот какая гипотеза есть. Рассмотрим категорию $D$, категорию $\mathbf{Set}$ и два функтора $P, Q: D \to \mathbf{Set}$. Функтор $P$ будет каждому элементу $d \in D$ ставить в соответствие элемент $\operatorname{hom}_{D}(r, d)$ из $\mathbf{Set}$, а функтор $Q$ будет каждому элементу $d \in D$ ставить в соответствие элемент $\operatorname{hom}_{C}(c, Sd)$ тоже из $\mathbf{Set}$. Функция стрелок функтора $P$ будет каждой стрелке $x: d \to d'$ из $D$ ставить в соответствие функцию $x_{*}:\operatorname{hom}_{D}(r, d) \to \operatorname{hom}_{D}(r, d')$, которая отображает стрелку $f \in \operatorname{hom}_{D}(r, d)$ в стрелку $x_{*}(f) \in \operatorname{hom}_{D}(r, d')$, такую, что $x_{*}(f) = f \circ x$ (композиция $f \circ x$ означает сначала применение стрелки $f$, затем стрелки $x$; на языке композиции функций это обозначало бы $f \circ x = x(f())$ ). Функция стрелок функтора $Q$ будет каждой стрелке $y: d \to d'$ из $D$ ставить в соответствие функцию $y_{*}:\operatorname{hom}_{C}(c, Sd) \to \operatorname{hom}_{C}(c, Sd')$, которая отображает стрелку $f \in \operatorname{hom}_{C}(c, Sd)$ в стрелку $y_{*}(f) \in \operatorname{hom}_{C}(c, Sd')$, такую, что $y_{*}(f) = f \circ Sy$ ($Sy$ - это стрелка $S(y)$ из категории $C$, в которую функтор $S:D \to C$ отображает стрелку $y: d \to d'$ из $D$) .

Тогда кажется, что функция (т.е. стрелка в $\mathbf{Set}$) из $\operatorname{hom}_{D}(r, d)$ в $\operatorname{hom}_{C}(c, Sd)$, о которой идет речь в предложении из стартового поста, и будет естественной по $d$ стрелкой. Т.е. компонентой естественного преобразования $P\dot{\to}Q$, соответствующей элементу $d \in D$.

[Slav-27]

EminentVictorians в сообщении #1565929 писал(а):

Но как превратить $\operatorname{hom}$-множество в функтор - такого никогда не видел.

Посмотрите здесь в разделе "Определение": https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%A4%D1%83%D0%BD%D0%BA%D1%82%D0%BE%D1%80_Hom.

[EminentVictorians]

Slav-27 в сообщении #1565934 писал(а):

Посмотрите здесь в разделе "Определение":

Это я знаю. Это как раз о том, как из $\operatorname{hom}$-множеств сделать категорию, в которой они будут объектами. Морфизмом $\operatorname{hom}$-множеств там является функция между $\operatorname{hom}$-множествами из одной категории. А биекция из стартового поста - между $\operatorname{hom}$-множествами из разных категорий. И утверждается, что эта биекция естественна по $d$. Т.е. как я понял это значит, что она является компонентой естественного преобразования, соответствующего элементу $d$. Я отсюда и начал раскручивать всю эту цепочку, поэтому кроме того варианта, который я написал выше, у меня пока никаких идей нету.

[Slav-27]

EminentVictorians в сообщении #1565929 писал(а):

У меня еще вот какая гипотеза есть...

Отсюда и до конца поста всё правильно вроде бы.

EminentVictorians в сообщении #1565935 писал(а):

Это как раз о том, как из $\operatorname{hom}$-множеств сделать категорию, в которой они будут объектами.

Нет, это о том, что если $r$ -- объект $D$, то $\mathrm{Hom}_D(r,\cdot)$ -- это функтор из $D$ в категорию множеств. Вы его обозначили $P$.

[EminentVictorians]

Slav-27 в сообщении #1565936 писал(а):

$\mathrm{Hom}_D(r,\cdot)$ -- это функтор из $D$ в категорию множеств. Вы его обозначили $P$.

Да, это ковариантный $\operatorname{hom}$-функтор из $D$, это я понимаю. Я просто слишком буквально прочитал, что $\operatorname{hom}$-множество - это функтор. Просто я думал, что какое-то конкретное одно $\operatorname{hom}$-множество можно интерпретировать как функтор. А так понятно, что $P$ - это $\operatorname{hom}$-функтор.

В принципе, у меня вопросов больше нету. Буду двигаться дальше. Спасибо Вам за помощь!