Странности в области определения обратной функции

[kisvadim]

Добрый день!
Нужно найти обратную функцию к $y=x^3 - 2$. Область определения у исходной функции $x \in \mathbb {R}$, множество значений: $y \in \mathbb {R}$. Находим обратную функцию: $y=\sqrt[3]{x+2}$. На графике в wolframalpha https://www.wolframalpha.com/input?i2d=true&i=y%3DPower%5Bx%2C3%5D-2+inverse+function функция определена и для отрицательных $x$. Но, если рассмотреть отдельно функцию $y=\sqrt[3]{x+2}$, то для нее уже область определения $x>=-2$ (см: https://www.wolframalpha.com/input?i2d=true&i=y%3DCbrt%5Bx%2B2%5D). Почему такая странность происходит? Корень 3-й степени из отрицательного числа вроде как не определен, хотя тоже до конца не пойму, ведь $\sqrt[3]{-8}=\sqrt[3]{-2^3}$, по идее должен быть равен $-2$.
Заранее спасибо.

[Lia]

Жмякните там ссылочку real root наверху, Вам полегчает.

[kisvadim]

Lia в сообщении #1565128 писал(а):

Жмякните там ссылочку real root наверху, Вам полегчает.

А если на ссылку не нажать, то какие корни? Там 2 варианта: 1) Assuming "Cbrt" is the real-valued root 2) Use the real-valued root instead. Чем они отличаются никак не пойму.

[Lia]

Все не так. В одном случае (с самого начала) была надпись "Assuming the principal root Use the real‐valued root instead"
В вольном переводе: вы используете главное значение корня (комплексного). Используйте (при желании) вместо него вещественнозначный корень.
При нажатии кнопочки, надпись меняется на... догадайтесь сами.

Что такое главное значение корня (сие очень условное понятие, но не для вещественной положительной ветки), можете загуглить по англовики.
Оттуда:

Цитата:

When complex nth roots are considered, it is often useful to choose one of the roots, called principal root, as a principal value. The common choice is to choose the principal $n$th root of $x$ as the nth root with the greatest real part, and when there are two (for $x$ real and negative), the one with a positive imaginary part. This makes the $n$th root a function that is real and positive for $x$ real and positive, and is continuous in the whole complex plane, except for values of $x$ that are real and negative.

A difficulty with this choice is that, for a negative real number and an odd index, the principal nth root is not the real one. For example, $-8$ has three cube roots, $-2$, $1+i\sqrt {3}$ and $ 1-i\sqrt {3}$. The real cube root is $-2$ and the principal cube root is $1+i\sqrt {3}$.

В общем, по ключевым словам principal root при желании можно обогатиться многими познаниями, но вопрос в том, что нужно Вам.
Для общей информации - пожалуйста, ищите, сколько нужно.
Обратное отображение Вы тоже знаете, как найти. Оно действительно определено на всей вещественной оси.