2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Посмотреть правила форума



Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1, 2
 
 Re: Условия неотрицательности суммы экспонент
Сообщение17.09.2022, 09:30 
Заблокирован


16/04/18

1129
Извините, опять про многочлены. Теперь тригонометрические. Для неотрицательных тригонометрических многочленов есть теорема Рисса - это обязательно квадрат такого же тригмногочлена. Для функций рассматриваемого вида - может поискать что-то подобное, сначала на простых примерах?

 Профиль  
                  
 
 Re: Условия неотрицательности суммы экспонент
Сообщение17.09.2022, 10:39 
Заслуженный участник


20/12/10
8858
novichok2018 в сообщении #1564807 писал(а):
Для неотрицательных тригонометрических многочленов есть теорема Рисса - это обязательно квадрат такого же тригмногочлена.
Можете привести точную формулировку? (Если написанное понимать как написано, то это очевидно неверно.)

 Профиль  
                  
 
 Re: Условия неотрицательности суммы экспонент
Сообщение17.09.2022, 11:09 
Заблокирован


16/04/18

1129
Каждый вещественный неотрицательный тригонометрический многочлен (многочлен - конечного порядка) есть квадрат некоторого тригонометрического многочлена (разумеется, не обязательно неотрицательного, Вы возможно на это обратили внимание). Для комплексных - с модулем. Формулы школьной тригонометрии для $1\pm \cos (x)$ - простейшие иллюстрации.
Теорема Рисса - см. книгу Рисс, Надь. Продвинутое дальше - теорема Эрмита-Билера, см. книгу Левина.
Есть ещё интересное неравенство Виеториса - условие на коэффициенты тригмногочлена, при выполнении которого можно утверждать неотрицательность сразу же, больше ничего не проверяя.
Виеторис - какой-то по слухам уникальный математик. Говорят, он триста лет прожил и живёт под другими именами и сейчас и будет вечно.
Я понимаю, что непонятно, можно ли это всё как-то использовать в этой задаче, но если очень надо, то нужно всякое пробовать, так же.

 Профиль  
                  
 
 Re: Условия неотрицательности суммы экспонент
Сообщение17.09.2022, 11:52 
Заслуженный участник


20/12/10
8858
novichok2018 в сообщении #1564813 писал(а):
Формулы школьной тригонометрии для $1\pm \cos (x)$ - простейшие иллюстрации.
А что Вы называете тригонометрическим многочленом? В моем понимании у тригонометрического многочлена есть степень (как у обычного алгебраического многочлена). Тригонометрический многочлен $1+\cos{x}$ имеет степень $1$, при возведении в квадрат степень удваивается, так что будет противоречие (иными словами, $\cos{(x/2)}$ не является тригонометрическим многочленом, если мы сочли $\cos{x}$ таковым). И мне непонятно, квадратом чего будет, например, $2+\cos{x}$ или $3+\cos{x}$.

-- Сб сен 17, 2022 15:57:11 --

novichok2018 в сообщении #1564813 писал(а):
Для комплексных - с модулем.
Если есть комплексные коэффициенты, то о какой неотрицательности можно говорить? В общем, не понимаю.

 Профиль  
                  
 
 Re: Условия неотрицательности суммы экспонент
Сообщение17.09.2022, 12:40 
Заблокирован


16/04/18

1129
Да, я допускаю неточности, на которые Вы справедливо указываете.
Точное изложение есть в книге Рисс-Надь, с. 131 нашего перевода, говорят, что эта задача также есть в Полиа-Сегё.
Под тригмногочленом здесь понимается функция
$$
t(x)=\sum_{k=-n}^n a_k \exp(ikx), x\in\mathbb{R},
$$
пусть $a_k$ действительны,
понятие порядка несущественно в этой задаче (оно существенно в задачах о приближениях). Заключение такое:
Всякий неотрицательный тригмногочлен может быть представлен в виде квадрата модуля некоторого другого тригмногочлена с комплексными вообще говоря коэффициентами. Или исходный тригмногочлен равен сумме квадратов двух действительных тригмногочленов.
Классический неотрицательный тригмногочлен - это Фейера
$$
t(x)=\sum_{k=1}^n \frac{\sin(kx)}{k},
$$
не знаю как его представить в виде квадрата модуля. Думаю, что практическое нахождение этого представления - непростая задача.
С Вашим примером как-то так, если это правильно.
$$
2+\cos(x)=|1+i(\cos(\pi/4-x/2)+\sin(\pi/4-x/2))|^2 ?
$$

 Профиль  
                  
 
 Re: Условия неотрицательности суммы экспонент
Сообщение17.09.2022, 12:55 
Заслуженный участник


20/12/10
8858
novichok2018 в сообщении #1564819 писал(а):
Или исходный тригмногочлен равен сумме квадратов двух действительных тригмногочленов.
Тогда другое дело. Для алгебраических многочленов подобный факт более-менее очевиден.

 Профиль  
                  
 
 Re: Условия неотрицательности суммы экспонент
Сообщение18.09.2022, 10:37 
Заблокирован


16/04/18

1129
Можно рассмотреть на примерах несколько коротких неотрицательных сумм, чтобы попробовать увидеть, все они квадраты таких же сумм или нет.

 Профиль  
                  
 
 Re: Условия неотрицательности суммы экспонент
Сообщение18.09.2022, 20:27 


30/10/21
14
novichok2018 в сообщении #1564807 писал(а):
Для неотрицательных тригонометрических многочленов есть теорема Рисса


Утверждение теоремы Рисса-Фейера следующее: $f(x)=\sum\limits_{|k|\leqslant n} c_k e^{ikx}\geqslant0$, $x\in\mathbb{R}$ тогда и только тогда, когда $f(x)=|q(x)|^2$, $x\in\mathbb{R}$, где $q(x)=\sum\limits_{k=0}^n d_k e^{ikx}$. Здесь везде $c_k, d_k\in\mathbb{C}$.

novichok2018 в сообщении #1564819 писал(а):
Классический неотрицательный тригмногочлен - это Фейера
$$
t(x)=\sum_{k=1}^n \frac{\sin(kx)}{k},
$$

Он неотрицателен на $[0,\pi]$ (а на $(0,\pi)$ положителен) для него теорема Рисса-Фейера не сработает.

По моему, ядро Фейера это $f(x)=\sum\limits_{|k|\leqslant n}\left(1-\frac{|k|}{n+1}\right)e^{ikx}$, $x\in\mathbb{R}$. Если поменять порядок суммирования, там квадратик отношения синусов будет, выписывать не буду. И здесь в представлении Рисса-Фейера $q(x)=\sum\limits_{k=0}^n e^{ikx}$.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 23 ]  На страницу Пред.  1, 2

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group