Coulomb oscillator

[reterty]

Решил немного повозиться с особенностями одномерных колебаний при наличии кулоновой возвращающей силы. В принципе, примером таких колебаний может считаться движение электрона в атоме водорода в 1s состоянии. Понятно, что на самом деле задача квантовомеханическая должна быть с точки зрения подхода. Но захотелось "классики" нелинейной. Может есть еще реальные системы, грубо описывающиеся такой одномерной моделью? То есть неподвижный кулонов центр, притягивающий точечный заряд. ....

[lel0lel]

Если одномерных, то можно погуглить одномерный атом водорода (one-dimensional hydrogen atom). Квазиодномерная модель может возникать в сильных магнитных полях или в квазиодномерных системах типа нанотрубок.

[Ben]

У меня получалось описать нелинейные колебания неоднородности плотности электронейтральной плазмы (Ленгмюровские колебания).Частицы связаны кулоновским потенциалом. Задача сводилась к одномерной.
На картинке черный график - динамика плотности отрицательного заряда. В области максимума плотности разворот профиля скорости происходит быстро, а в области минимума плотности разворот профиля скорости происходит медленно. (Красный график это какой-то коэффициент, можно не обращать внимания).



PS:извините, с тегом [img] пишет "не удалось определить размер изображения".

Pphantom:

Это потому что вы вставляли не собственно картинку, а ссылку на страницу хостинга (на которой уже находилась картинка). Поправил.

[reterty]

В топике topic149459.html я поделился идеей проанализировать особенности одномерных колебаний под действием возвращающей кулоновской силы. Основным выражением в моей работе был закон сохранения полной энергии колеблющейся точечной частицы в поле другой неподвижной заряженной частицы:

$$\frac{m c^2}{\sqrt{1-v_x^2/c^2}}-\frac{|q_1q_2|}{4\pi \varepsilon_0 |x|}=m c^2-\frac{|q_1q_2|}{4\pi \varepsilon_0 A}$$

В качестве примера я упомянул одномерные колебания электрона в поле массивного ядра во внешнем сильном магнитном поле. я четко подчеркнул необходимость использования релятивистского выражения для энергии движущейся частицы с тем чтобы полная энергия ее во внешнем поле оставалась конечной в начале координат, то есть чтобы скорость в нуле не становилась бесконечно большой а равнялась скорости света. и именно на это выражение напали оба рецензента. процитирую ниже их замечания: 1. the energy of the oscillating particle is relativistic, but the potential associated with it is classical----ну, и ничего страшного в этом нет, что его так удивило... 2 2-The energy balance must be purely classical or relativistic; У меня притягивающий центр неподвижен, какой же перенормировки кулоновского потенциала он хочет? 3. 4-I cannot disregard the corrections of the potential and electric field due to the relativistic motion of the oscillating particle.......та же самая песня... 4. the Coulomb potential provides an action-at-distance force that contradicts the very principle of relativity.....что за бред?

мне интересны мнения участников форума по поводу этих замечаний. Заранее благодарен за ответы.

[zykov]

reterty в сообщении #1564844 писал(а):

то есть чтобы скорость в нуле не становилась бесконечно большой а равнялась скорости света

А какая от этого польза?

[reterty]

zykov в сообщении #1564846 писал(а):

reterty в сообщении #1564844 писал(а):

то есть чтобы скорость в нуле не становилась бесконечно большой а равнялась скорости света

А какая от этого польза?

...чтобы не было превышения гранично допустимой скорости материального обьекта

[Pphantom]

Темы объединены - нет никаких причин заводить отдельную.

[zykov]

reterty в сообщении #1564847 писал(а):

чтобы не было превышения гранично допустимой скорости материального обьекта

Не понятно, зачем это надо.

[reterty]

По-моему, до меня начинает доходить. Кулонов потенциал зависит от расстояния между обьектами . Но в СО, связанной с движущейся частицей это расстояние меньше расстояния, определяемого наблюдателем в неподвижной СО, т. е. в системе отсчета связанной с неподвижным кулоновским центром...

[svv]

Рецензенты неправы. Вы рассматриваете ту же задачу, какую рассматривают Ландау и Лифшиц в Теории поля, §39: движение релятивистской частицы во внешнем кулоновом поле. Точнее, частный случай одномерного движения.

Вы вправе рассматривать движение электрона в произвольной системе, в том числе в той, где тяжёлое ядро неподвижно. В ней потенциал ядра (только ядра, а не суммарный потенциал) будет таким, как Вы написали. Вы можете даже считать, что записанный вами потенциал ядра — релятивистский: теория относительности никак не корректирует классический кулоновский потенциал неподвижного заряда.

Может быть, «ребята» имели в виду, что ускоренно движущийся электрон будет излучать и поэтому терять энергию? Но в Вашей упрощённой модели (которая рассматривалась многими авторами) электрон не излучает.

reterty в сообщении #1564844 писал(а):

$$...=m c^2-\frac{|q_1q_2|}{4\pi \varepsilon_0 A}$$

Этого перехода я не понял.

reterty в сообщении #1564844 писал(а):

с тем чтобы полная энергия ее во внешнем поле оставалась конечной в начале координат

Она и так оставалась бы конечной. Точнее, хотя полная энергия для электрона в начале координат не определена, но существует её предельное значение: предел константы — эта же константа. Я не вижу тут особой разницы между классикой и СТО.

[reterty]

В правой части этого уравнения расписана полная энергия колеблющейся частицы (сохраняющаяся величина) для момента времени когда частица находится в амплитудном положении. Поскольку она покоится , то полная энергия равна энергии покоя плюс потенциальная энергия в амплитудном положении $x=A$.

[svv]

$A$, теперь понятно.

[reterty]

Уважаемые форумчане, мои численные расчеты, проведенные на основании вышеприведенного закона сохранения полной энергии, показывают что в случае экстремально малых амплитуд одномерных колебаний заряженной частцы, последняя движется с практически постоянной скоростью приближенно равной скорости света в течение всего полупериода, то есть как бы отражается от двух вертикальных стенок, ведя себя в промежутке как свободная частица. Kак это обьяснить с позиций релятивистской динамики, ума не приложу....

[svv]

reterty в сообщении #1564926 писал(а):

движется с практически постоянной скоростью приближенно равной скорости света в течение всего полупериода, то есть как бы отражается от двух вертикальных стенок

Да. При малых амплитудах вблизи $x=\pm A$ стенки потенциального колодца становятся настолько крутыми, что, сдвинувшись от этих точек даже на небольшое (по сравнению с $A$) расстояние к центру, электрон достигает релятивистских скоростей.

Однако вот такого вывода я бы не делал:

reterty в сообщении #1564926 писал(а):

ведя себя в промежутке как свободная частица

Когда скорость становится близкой к скорости света, становится малой производная $\frac{dv}{d\mathcal E}$, где $\mathcal E$ — энергия электрона (= энергия покоя + кинетическая). Иначе говоря, энергия электрона может существенно вырасти при небольшом изменении скорости:

Б.В.Медведев в книге «Начала теоретической физики» писал(а):

Поэтому состояние движения быстрых частиц практически неудобно задавать значением их скорости; гораздо рациональнее пользоваться для этого отношением их энергии к энергии покоя (или импульса к энергии покоя, деленной на скорость света).

[zykov]

$F \sim \frac{1}{r^2}$, $s=\frac{v^2}{2a}$

значит $s \sim \frac{v^2 r^2}{2}$ и $\frac{s}{r} \sim \frac{v^2 r}{2}$, т.е. доля $s$ от $r$ падает при уменьшении $r$