Разбиение k на части с бинарным весом как у k

[kthxbye]

Пусть $\operatorname{wt}(n)$ это A000120, т.е. число единиц в двоичном представлении $n$ или бинарный вес $n$.

Пусть $a(n,m)$ это последовательность чисел $k$ таких, что $\operatorname{wt}(k)=m$.

Докажите, что

$$a(1,2^{n-1}+n)+\sum\limits_{i=1}^{2^{n-1}}a(i+2,2^{n-1}+n)=(2^{n+1}+1)2^{2^{n-1}+n-1}-1$$

Докажите также, что числа вида $(2^{n+1}+1)2^{2^{n-1}+n-1}-1$ имеют всего два разбиения на части с бинарным весом равным $2^{n-1}+n$: само число и сумма выше.