Уравнение в целых числах, школьная алгебра

[Ivan 09]

Доброго времени суток. Решить в целых числах
Есть уравнение $xy^2-7(x+y^2)=1$
Там, где я его увидел, предлагают свести уравнение к $x=\frac{7y^2+1}{y^2-7}$
$x=7+\frac{50}{y^2-7}$
Затем рассматривают $10$ вариантов делителей $50$.
Свои попытки сводились к рассмотрению квадартного уравнения относительно $y$. Но корни не смог быстро подобрать.
$y=\pm\frac{\sqrt{(7x+1)(x-7)}}{x-7}$
Интересно, есть ли аккуратный способ решения, где не нужно угадывать корни и рассматривать перебор(я считаю, что 10 вариантов-это много)?

[zykov]

Сразу видно, что $y^2\neq 50+7=57$ и $y^2\neq 25+7=32$.
Остаются делители 10 (10+7=17), 5 (5+7=12), 2 (2+7=9 - подходит) и 1 (1+7=8).
Всего-то 6 вариантов...

[svv]

$-1, -2, -5$ тоже делят $50$ без остатка и после прибавления $7$ могли бы оказаться полными квадратами, но... не судьба.

Ivan 09 в сообщении #1564585 писал(а):

Свои попытки сводились к рассмотрению квадартного уравнения относительно $y$.

Можно посмотреть на это уравнение как на линейное относительно $y^2$. Вообще, обратите внимание, что $x$ и $y^2$ входят в уравнение симметрично, и его можно переписать в виде $(x-7)(y^2-7)=50$.
Про первый сомножитель пока известно лишь, что это делитель $50$. Зато второй — это делитель $50$, который после прибавления $7$ становится квадратом. Можно поставить вопрос и так: какой квадрат после вычитания $7$ делит $50$?

[nnosipov]

Ivan 09 в сообщении #1564585 писал(а):

Интересно, есть ли аккуратный способ решения, где не нужно угадывать корни и рассматривать перебор

Нет, такого волшебного способа нет. В данном случае так или иначе придется перебирать делители некоторого фиксированного числа.

[vpb]

Ivan 09 в сообщении #1564585 писал(а):

я считаю, что 10 вариантов-это много)?

Неправильно считаете. Это математика, детка ! (Хорошо известно, что великие математики (Эйлер, Гаусс) не чурались обширных вычислений. )

[Ivan 09]

svv в сообщении #1564589 писал(а):

$(x-7)(y^2-7)=50$

svv в сообщении #1564589 писал(а):

Можно поставить вопрос и так: какой квадрат после вычитания $7$ делит $50$?

Получается, только одно число. $1,2,4,5,6,7$ не подходит, остается только $3$. Которое надо взять и с отрицательным знаком.
Спасибо всем!