Об одном свойстве процесса Пуассона и его следствиях

[Sdy]

Долго думал, создавать ли тему и могу ли я корректно сформулировать, в чём, собственно мне нужна помощь; решил всё-таки попробовать, так как поиски в интернете, что интересно, возвращают на этот же форум.
Пусть у нас есть процесс Пуассона, то есть семейство случайных величин $\{\xi_t, t \geq 0 \}$, причем для конкретного $t \in \mathbb{R} $ $\xi_t$ это (мы это так интерпретируем) количество частиц, зарегистрированных на промежутке от $0$ до $t$.
По определению, процесс Пуассона таков, что
1) за конечное время происходит лишь конечное число регистраций частиц,
2) регистрация нескольких частиц одновременно невозможна,
3) на непересекающихся промежутках количество зарегистрированных частиц - это независимые случайные величины,
4) число зарегистрированных частиц зависит только от длины промежутка, но не зависит от того где конкретно располагается этот промежуток.
Далее, пользуясь этими свойствами, мы доказываем, что
1) $\mathbb{P}(\xi_{t+h}-\xi_t>1)=o(h)$;
2)$\mathbb{P}(\xi_{t+h}-\xi_t>0)= 1 - e^{-\lambda h} = \lambda h + o(h)$
3)$\forall t \in \mathbb{R}, \forall k \in \mathbb{N} \ \mathbb{P}(\xi_t = k) = \frac{(\lambda t)^k}{k!}e^{-\lambda t} $
После этого мы вводим случайные величины $\tau_k$, для фиксированного $k$, $\tau_k$ это случайная величина, представляющая собой момент времени, когда была зарегистрирована $k$-я частица.
Мы показываем, что
1) $F_{\tau_1}(t)=1-e^{-\lambda t}$,
2) $\mathbb{P}(\tau_1 \leq s | \xi_t = 1) = \frac{s}{t}, 0 < s < t$,
3) Находим математическое ожидание и дисперсию $\tau_k$, они равны, соответственно, $\frac{k}{\lambda}$ и $\frac{k}{\lambda^2}$.
Я понимаю как доказывается всё то что написано выше.

А потом перед нами встает задача:
Найти $\mathbb{E}(\tau_1+\tau_2+...+\tau_{\xi_t} | \xi_t = n )$, и я не понимаю, как её решать.
В месте, где это встречается, предлагается действовать так: докажем, что совместная условная плотность распределения случайных величин $\tau_1, \tau_2,..., \tau_{\xi_t}$, при условии, что $\xi_t = n$ (не знаю как это понятно и красиво написать символами, в источнике тоже словами пишут) равна безусловной плотности распределения $n$ порядковых статистик независимых случайных величин, равномерно распределённых на промежутке от $0$ до $t$.
Допустим, я даже верю в доказательство, которое там приводится. Но я все равно не понимаю, как из этого следует, что
$\mathbb{E}(\tau_1 + ... + \tau_{\xi_t} | \xi_t = n) = \mathbb{E}(\tau_1 + ... + \tau_{n} | \xi_t = n) = \mathbb{E}(tU_{(1)} + ... + tU_{(n)})$, где $U_{(i)}$ это как раз порядковые статистики независимых случайных величин, равномерно распределённых на промежутке от $0$ до $1$.
Я тогда попробовал сам напрямую вывести какую-то формулу для $\mathbb{E}(\tau_k| \xi_t = n)$, верную для всякого $1 \leq k \leq n$, но видимо, это плохая идея и не зря как минимум в двух англоязычных источниках обращаются в этот момент к порядковым статистикам набора независимых случайных величин, равномерно распределённых.

Скорее всего, я не понимаю какую-то тривиальность - по тем материалам, что я изучаю, я еще не сталкивался лицом к лицу совместными условными плотностями и я вроде как понимаю, что такое условное математическое ожидание случайной величины относительно событий, условное математическое ожидание случайной величины относительно разбиения, условное математическое ожидание случайной величины относительно дискретной случайной величины -- мне кажется что я прочувствовал и определения этих понятий и как ими пользоваться по определению и как использовать их "хитро", сужая вероятностные пространства с помощью условной вероятности. Но в данном случае мне это все понять как-то не помогает.
Я посмотрел по нескольким источникам, наткнулся на вот это сообщение на форуме - http://dxdy.ru/post629238.html#p629238 от --mS--, понял, что видимо лучше с этим разобраться и таки создал эту тему.

[ShMaxG]

Sdy в сообщении #1564498 писал(а):

Но я все равно не понимаю, как из этого следует, что
$\mathbb{E}(\tau_1 + ... + \tau_{\xi_t} | \xi_t = n) = \mathbb{E}(\tau_1 + ... + \tau_{n} | \xi_t = n) = \mathbb{E}(tU_{(1)} + ... + tU_{(n)})$, где $U_{(i)}$ это как раз порядковые статистики независимых случайных величин, равномерно распределённых на промежутке от $0$ до $1$.

Пусть $\xi$ при $\eta=t$ имеет безусловное распределение $f(x;t)$. Тогда $\mathbb{E}(\xi\,|\,\eta=t)=\mathbb{E}\zeta$, где $\zeta$ имеет распределение $f(x;t)$. Так получается просто потому что

$$\mathbb{E}(\xi\,|\,\eta=t)=\int x\,dF_{\xi\,|\,\eta=t}(x)=\int x f(x;t)\,dx=\mathbb{E}\zeta.$$

В Вашем случае все аналогично.

[Sdy]

ShMaxG, спасибо за ответ.
Тут у меня такая проблема - мы доказали, что совместная условная плотность $\tau_1,...,\tau_{\xi_t}$ при условии что $\xi_t = n$ равна совместной плотности $\rho_{U_{(1)},...,U_{(n)}}(x_1,...,x_n)$.
Но потом мы говорим что нечто верно для сумм соответствующих случайных величин, и вот тут у меня затык.
Ведь плотность отдельно взятой $\tau_k$ не совпадает с плотностью $U_{(i)}$.
Конкретизирую, мы доказали, что $\rho_{\tau_1,...,\tau_{\xi_t} | \xi_t = n}(t_1,...,t_n) = \rho_{U_{(1)},...,U_{(n)}}(x_1,...,x_n)$, а потом у нас уже фигурирует суммы соответствующих случайных величин:
$\mathbb{E}(\tau_1 + ... + \tau_{\xi_t} | \xi_t = n) =\mathbb{E}(tU_{(1)} + ... + tU_{(n)})$
Я не понимаю как соотнести эти два факта.
Тот факт, что распределение случайной величины однозначно определяет ее численные характеристики я знаю, по крайней мере знаю как это доказывается конструктивно, с помощью предела математического ожидания последовательности простых случайных величин, приближающей нашу неотрицательную случайную величину.

[Doctor Boom]

Sdy в сообщении #1564498 писал(а):

Найти $\mathbb{E}(\tau_1+\tau_2+...+\tau_{\xi_t} | \xi_t = n )$,

А почему нельзя записать просто $\mathbb{E}(\tau_1+\tau_2+...+\tau_n )$?

[ShMaxG]

Sdy в сообщении #1564508 писал(а):

Ведь плотность отдельно взятой $\tau_k$ не совпадает с плотностью $U_{(i)}$.

Условная плотность совпадает. Другое дело, что плотность совместного распределения не равна произведению плотностей каждой компоненты, но маргинальные распределения конечно совпадают с $U_{(i)}$.

Sdy в сообщении #1564508 писал(а):

Я не понимаю как соотнести эти два факта.

Очень просто. Пусть дан вектор $(\xi_1,\dots,\xi_n)$ случайных величин с плотностью $f(x_1,\dots,x_n)$ совместного распределения. Тогда математическое ожидание произвольной функции $g(\xi_1,\dots,\xi_n)$ (в том числе функции $g=\xi_1+\dots+\xi_n$), если оно существует, будет равно

$$\mathbb{E}g(\xi_1,\dots,\xi_n)=\int\,g(x_1,\dots,x_n)\,f(x_1,\dots,x_n)\,dx_1\dots dx_n.$$

Другими словами, матожидание функции случайных величин есть интеграл этой функции помноженной на совместную плотность случайных величин. Если вычисляется условное математическое ожидание, то тогда справедлива та же формула, просто плотность будет условного распределения.

Doctor Boom в сообщении #1564519 писал(а):

А почему нельзя записать просто $\mathbb{E}(\tau_1+\tau_2+...+\tau_n )$?

Потому что в данном случае в выражении условного матожидания левая и правая части являются зависимыми случайными величинами, поэтому условие из условного матожидания отбросить нельзя.

[Sdy]

ShMaxG, спасибо за ответ.
Мне кажется, дошло.

ShMaxG в сообщении #1564533 писал(а):

Очень просто. Пусть дан вектор $(\xi_1,\dots,\xi_n)$ случайных величин с плотностью $f(x_1,\dots,x_n)$ совместного распределения. Тогда математическое ожидание произвольной функции $g(\xi_1,\dots,\xi_n)$ (в том числе функции $g=\xi_1+\dots+\xi_n$), если оно существует, будет равно

$$\mathbb{E}g(\xi_1,\dots,\xi_n)=\int\,g(x_1,\dots,x_n)\,f(x_1,\dots,x_n)\,dx_1\dots dx_n.$$

Это утверждение я тоже знаю, по крайней мере, знаю его доказательство для случая "достаточно хорошей" функции $g$.
Тогда, при условии что у нас $g$ одна и та же (а именно сумма наших случайных величин), мы получаем, что:
$\mathbb{E}g(\xi_1,\dots,\xi_n)=\int\,g(x_1,\dots,x_n)\,f_{\xi_1,...,\xi_n}(x_1,\dots,x_n)\,dx_1\dots dx_n = \\ \int(x_1 + ... + x_n)\,f_{\xi_1,...,\xi_n}(x_1,\dots,x_n)\,dx_1\dots dx_n$

$\mathbb{E}g(U_{(1)},\dots,U_{(n)})=\int\,g(x_1,\dots,x_n)\,f_{U_{(1)},\dots,U_{(n)}}(x_1,\dots,x_n)\,dx_1\dots dx_n =$
$\int(x_1 + ... + x_n)\,f_{U_{(1)},\dots,U_{(n)}}(x_1,\dots,x_n)\,dx_1\dots dx_n$, а мы доказали, что $f_{U_{(1)},\dots,U_{(n)}}(x_1,\dots,x_n) = f_{\xi_1,\dots,\xi_n}(x_1,\dots,x_n)$, отсюда и равенство интегралов, а значит и математических ожиданий. Я для краткости опустил, что плотность у нас условная.
Спасибо!