Фиксация переменной в бифункторе

[EminentVictorians]

Маклейн, стр. 50 писал(а):

Фиксировав один аргумент в бифункторе $S$, получаем одноместный функтор от оставшегося аргумента. Бифунктор $S$ в целом определяется этими двумя наборами одноместных функторов по следующей элементарной схеме.
Предложение 1. Пусть даны категории $B$, $C$ и $D$. Для всех объектов $b \in B$ и $c \in C$ рассмотрим такие функторы

$$L_c:B \to D, M_b:C \to D$$

что $M_b(c) = L_c(b)$ при любых $b$, $c$. Тогда бифунктор $S: B \times C \to D$ для которого $S(-, c) = L_c$ при всех $c$ и $S(b, -) = M_b$ при всех $b$, существует в том и только том случае, если для каждой пары стрелок $f: b \to b'$ и $g: c \to c'$ выполнено равенство

$$M_{b'}g \circ L_{c}f = L_{c'}f \circ M_bg$$

В этом случае каждая из частей равенства является значением $S(f,g)$ функции стрелок функтора $S$ на паре $f$, $g$.

Не могу понять этот фрагмент текста.

Бифунктор - это произвольный функтор из произведения двух произвольных категорий в произвольную категорию. Пусть нам даны категории $B, C$ и $D$ и функтор $S: B \times C \to D$. Этот функтор $S$ является бифунктором. Маклейн пишет:

Цитата:

Фиксировав один аргумент в бифункторе $S$, получаем одноместный функтор от оставшегося аргумента.

Я не очень способен понимать такие нестрогие предложения. Аргумент может быть у функции, а функтор - это не функция, а пара функций.

Для начала можно рассмотреть ситуацию с функцией. Пусть дана функция $f: B \times C \to D$. Словосочетание "зафиксируем первый аргумент у функции $f$" я понимаю следующим образом. Для начала выберем элемент $b \in B$. Далее рассмотрим слой над $b$, т.е. множество $\{(b,c) \in B \times C| b \quad \text{фиксировано}, c \quad \text{пробегает все множество} \quad C\}$ Тогда "функция $f$ с зафиксированным первым аргументом" - это сужение функции $f$ на слой элемента $b$. Очевидно, что на эту функцию можно смотреть не только как на функцию, определенную на слое элемента $b$ (т.е. на подмножестве $B \times C$) но и как на функцию, очевидным образом определенную на множестве $C$.

Но функтор - это не функция. Вот я, допустим, зафиксировал элемент $b \in B$. Откуда будет действовать этот новый "функтор с фиксированным аргументом"? Я вижу 2 варианта.
1. Фиксируем слой над $b$ в $B \times C$. Это будут объекты некоторой подкатегории категории $B \times C$. Между произвольной парой $(b, c_1)$ и $(b, c_2)$ стрелки в этой подкатегории - это в точности те же самые стрелки, которые были между этими двумя объектами в основной категории $B \times C$. И тогда под этим "функтором с фиксированной переменной" будем понимать функтор из вот этой подкатегории в категорию $D$. Это, насколько я понял, неправильная трактовка.
2. Вторая трактовка заключается в том, чтобы понимать этот "функтор с фиксированным аргументом" как функтор из категории $C$ в категорию $D$. Как действует функция объектов - понятно: элемент $c \in C$ отображается в элемент $S(b, c)$. Но как должна действовать функция стрелок? Вот берем произвольные объекты $c$, $c'$ из $C$ и стрелку $f:c \to c'$. Куда этот "функтор с фиксированным аргументом" будет отображать эту стрелку? Если бы этой стрелке $f$ соответствовала бы какая-то конкретная стрелка $F: (b, c) \to (b, c')$, то все было бы понятно. Но ведь такого соответсвия нету. Стрелка между объектами $(b, c)$ и $(b, c')$ в категории $B \times C$ - это любая из пар вида $(g, f)$ , где $g:b \to b$ - стрелка из категории $B$, а $f: c \to c'$ - стрелка из категории $C$. Иными словами, этой стрелке $f$ из $C$ соответсвует куча стрелок вида $F = (g, f)$, где $f$ будет второй компонентой. Самое разумное, что здесь можно предположить - это всегда брать в качестве $g$ единичную стрелку объекта $b$ в категории $B$. Но об этом не было ничего сказано в книге. В общем, помогите разобраться с этим "функтором с фиксированным аргументом" - главное для меня сейчас понять, откуда он действует (скорее всего из категории $C$) и как действует его функция стрелок.

[Slav-27]

EminentVictorians в сообщении #1563906 писал(а):

Самое разумное, что здесь можно предположить - это всегда брать в качестве $g$ единичную стрелку

Это и имеется в виду.

-- 01.09.2022, 17:33 --

EminentVictorians в сообщении #1563906 писал(а):

откуда он действует (скорее всего из категории $C$)

Да.