Маклейн, стр. 50 писал(а):
Не могу понять этот фрагмент текста.
Бифунктор - это произвольный функтор из произведения двух произвольных категорий в произвольную категорию. Пусть нам даны категории

и

и функтор

. Этот функтор

является бифунктором. Маклейн пишет:
Цитата:
Фиксировав один аргумент в бифункторе

, получаем одноместный функтор от оставшегося аргумента.
Я не очень способен понимать такие нестрогие предложения. Аргумент может быть у функции, а функтор - это не функция, а пара функций.
Для начала можно рассмотреть ситуацию с функцией. Пусть дана функция

. Словосочетание "зафиксируем первый аргумент у функции

" я понимаю следующим образом. Для начала выберем элемент

. Далее рассмотрим слой над

, т.е. множество

Тогда "функция

с зафиксированным первым аргументом" - это сужение функции

на слой элемента

. Очевидно, что на эту функцию можно смотреть не только как на функцию, определенную на слое элемента

(т.е. на подмножестве

) но и как на функцию, очевидным образом определенную на множестве

.
Но функтор - это не функция. Вот я, допустим, зафиксировал элемент

. Откуда будет действовать этот новый "функтор с фиксированным аргументом"? Я вижу 2 варианта.
1. Фиксируем слой над

в

. Это будут объекты некоторой подкатегории категории

. Между произвольной парой

и

стрелки в этой подкатегории - это в точности те же самые стрелки, которые были между этими двумя объектами в основной категории

. И тогда под этим "функтором с фиксированной переменной" будем понимать функтор из вот этой подкатегории в категорию

. Это, насколько я понял, неправильная трактовка.
2. Вторая трактовка заключается в том, чтобы понимать этот "функтор с фиксированным аргументом" как функтор из категории

в категорию

. Как действует функция объектов - понятно: элемент

отображается в элемент

. Но как должна действовать функция стрелок? Вот берем произвольные объекты

,

из

и стрелку

. Куда этот "функтор с фиксированным аргументом" будет отображать эту стрелку? Если бы этой стрелке

соответствовала бы какая-то конкретная стрелка

, то все было бы понятно. Но ведь такого соответсвия нету. Стрелка между объектами

и

в категории

- это любая из пар вида

, где

- стрелка из категории

, а

- стрелка из категории

. Иными словами, этой стрелке

из

соответсвует куча стрелок вида

, где

будет второй компонентой. Самое разумное, что здесь можно предположить - это всегда брать в качестве

единичную стрелку объекта

в категории

. Но об этом не было ничего сказано в книге. В общем, помогите разобраться с этим "функтором с фиксированным аргументом" - главное для меня сейчас понять, откуда он действует (скорее всего из категории

) и как действует его функция стрелок.