Инвариантное подпространство относительно двух операторов.

[goshanchik]

Найти в трехмерном векторном пространстве все подпространства, инвариантные относительно двух линейных операторов,
заданных матрицами
$\left(\begin{array}{ccc}5& -1& -1\\ -1& 5& -1\\ -1& -1& 5\end{array}\right ), \left(\begin{array}{ccc}-6& 2& 3\\ 2& -3& 6\\3& 6& 2& \end{array}\right )$

Тривиальные подпространства у них общие. Правильно ли я понял, что то же одномерное инвариантные подпространство будет пространство, которое образует линейная оболочка $<a_{1}v_1+a_{2}v_2+a_{3}v_3>=<b_{1}u_1+b_{2}u_2+b_{3}u_3>$, где $a_{i}, b_{i}$ - коэффициенты, а $ v_i, u_i$ - собственные векторы матриц?

[svv]

goshanchik в сообщении #1563875 писал(а):

линейная оболочка $<a_{1}v_1+a_{2}v_2+a_{3}v_3>=<b_{1}u_1+b_{2}u_2+b_{3}u_3>$, где $a_{i}, b_{i}$ - коэффициенты, а $ v_i, u_i$ - собственные векторы матриц

А что за коэффициенты $a_{i}, b_{i}$? Они подобраны так, чтобы достигалось равенство?
Эти две матрицы (обозначим их $A$ и $B$) симметричны, а значит, диагонализируемы, следовательно, существует базис в $\mathbb R^3$, состоящий из собственных векторов $A$ (или $B$). Какие-нибудь три собственных вектора $A$, образующих базис, обозначим $v_i$, а какие-нибудь три собственных вектора $B$, образующих базис, обозначим $u_i$. (Требование «образующих базис» необходимо, потому что три произвольных собственных вектора могут оказаться линейно зависимыми.) Но теперь произвольный вектор может быть разложен как по первому, так и по второму базису:
$x=a_1 v_1+a_2 v_2+a_3 v_3=b_1 u_1+b_2 u_2+b_3 u_3$
Иначе говоря, подпространство всех векторов вида $a_1 v_1+a_2 v_2+a_3 v_3$ (и аналогично $b_1 u_1+b_2 u_2+b_3 u_3$) совпадает со всем пространством.
Поэтому непонятно, что даёт это равенство.

Вы можете указать все одномерные инвариантные подпространства $A$ и все одномерные инвариантные подпространства $B$ (пока не заботясь, чтобы они были общими)?

[goshanchik]

svv в сообщении #1563877 писал(а):

goshanchik в сообщении #1563875 писал(а):

Вы можете указать все одномерные инвариантные подпространства $A$ и все одномерные инвариантные подпространства $B$ (пока не заботясь, чтобы они были общими)?

собственные векторы для первого оператора:
с собственным значением 6
$v_1=(-1, 0, 1)$
$v_2=(-1, 1, 0)$
с собственным значением 3
$v_3=(1, 1, 1)$
Его одномерные инвариантные подпространства это $<v_3>, <a_1v_1+a_2v_2>$, где коэффициенты $a_1, a_2$ не равны нулю одновременно


собственные векторы для второго оператора:
с собственным значением -7
$u_1=(-3, 0, 1)$
$u_2=(-2, 1, 0)$
с собственным значением 7
$u_3=(1, 2, 3)$
Его одномерные инвариантные подпространства это $<u_3>, <b_1u_1+b_2u_2>$, где коэффициенты $b_1, b_2$ так же не равны нулю одновременно

-- 01.09.2022, 13:15 --

А всё понял, нужно подобрать коэффициенты чтобы было равенство $a_3v_3=b_3u_3$ и $a_1v_1+a_2v_2=b_1u_1+b_2u_2$

[Null]

$a_3v_3=b_1u_1+b_2u_2$ еще может быть.