Рациональное уравнение

[Stensen]

Доброго времени суток. Помогите решить уравнение

$\frac{(a-x)^4+(x-b)^4}{(a+b-2x)^2}=\frac{a^4+b^4}{(a+b)^2}$ . Преобразовав левый знаменатель, получим симметричное: $\frac{(a-x)^4+(b-x)^4}{((a-x)+(b-x))^2}=\frac{a^4+b^4}{(a+b)^2}$ .

Если ввести функцию: $f(p,q)=\frac{p^4+q^4}{(p+q)^2} $ , то уравнение можно представить: $f((a-x),(b-x))=f(a,b)$ .
$f(p,q)$ - жаль, что не монотонная.

$f(p,q)$ - симметрическая $f(p,q)=f(q,p)$, поэтому если $(p_0,q_0)$ - решение, то $(q_0,\, p_0)$ тоже. Перебирая возможные варианты получаю:

$$\left\{ \begin{array}{rcl} a-x=a\\ b-x=b \\ \end{array} \right.$$

тогда: $x=0$

$$\left\{ \begin{array}{rcl} a-x=b\\ b-x=a \\ \end{array} \right.$$

тогда: $x=0$

$$\left\{ \begin{array}{rcl} a-x=-a\\ b-x=b \\ \end{array} \right.$$

тогда: $x=0$

$$\left\{ \begin{array}{rcl} a-x=a\\ b-x=-b \\ \end{array} \right.$$

тогда: $x=0$

$$\left\{ \begin{array}{rcl} a-x=-a\\ b-x=-b \\ \end{array} \right.$$

тогда: $\neg \exists x$

$$\left\{ \begin{array}{rcl} a-x=-b\\ b-x=-a \\ \end{array} \right.$$

тогда: $x=a+b$. В задачнике есть еще решения: $\frac{2ab}{a+b},\, \frac{a^2+b^2}{a+b}$ , но я их не нашел, где поискать? Или не правильно решаю?

[nnosipov]

Вы нашли два корня, осталось найти еще два (почему не три?). Т.е. решить какое-то квадратное уравнение. Так составьте это квадратное уравнение, а затем решите его стандартным образом.

[alcoholist]

Stensen в сообщении #1563595 писал(а):

В задачнике есть еще решения: $\frac{2ab}{a+b},\, \frac{a^2+b^2}{a+b}$ , но я их не нашел, где поискать?

Алгебраическое уравнение четвертого порядка. Два корня знаете. Найти остальные не проблема.

-- Сб авг 27, 2022 17:10:57 --

nnosipov меня опередил:)

[Stensen]

Правильно я понял, что нужно разделить мой многочлен 4-й степени на $(x-x_1)(x-x_2)$ ? Корректно ли (для упрощения, чтобы не раскрывать скобки) разделить обе части уравнения на $(x-x_1)(x-x_2)$ , т.к. эти корни я уже нашел и их не потеряю?

[ewert]

Ну прежде чем делить, надо перенести всё в одну часть и привести к общему знаменателю. Возни там хватит.

Лучше действовать сознательнее -- сделать замену $x=t+\frac{a+b}2$ и заодно ввести обозначения $c=\frac{a+b}2$ и $d=\frac{b-a}2$. В новых обозначениях уравнение окажется чуть более громоздким, но зато очень симметричненьким да к тому же ещё и биквадратным, так что даже и угадывать корни не придётся (двумя из них окажутся, естественно, угаданные Вами $t_{1,2}=\pm c$).

Кстати, насчёт оформления решения. Соображения симметрии иметь в виду, конечно, нужно, но то, как это было у Вас в стартовом посте, совершенно излишне. Корень $x=0$ совершенно очевиден с самого начала, да и $x=a+b$ легко угадывался.

[Andrey A]

Stensen в сообщении #1563595 писал(а):

$\frac{(a-x)^4+(x-b)^4}{(a+b-2x)^2}=\frac{a^4+b^4}{(a+b)^2}$

Безотносительно к предыдущему. Я бы переписал так: $\dfrac{(a-x)^4+(x-b)^4}{a^4+b^4}=\dfrac{(a+b-2x)^2}{(a+b)^2}$, и сразу лишняя переменная бросается в глаза: сокращая числители/знаменатели на $b^4$ (слева) и $b^2$ (справа), получаем $2x$-параметрическое уравнение от $u=\dfrac{a}{b},\ v=\dfrac{x}{b}.$ Далее (как вариант) можно поделить обе части на $(v-1)^4$ и воспользоваться общим решением уравнения $\dfrac{X^2+1}{Y^2+1}=\square:$

$$X=\dfrac{pq+1}{p-q},\ Y=\dfrac{pq-1}{p+q}.$$

[Stensen]

ewert в сообщении #1563602 писал(а):

Соображения симметрии иметь в виду, конечно, нужно, но совершенно излишне. Корень $x=0$ совершенно очевиден с самого начала, да и $x=a+b$ легко угадывался.

Это осознал.

ewert в сообщении #1563602 писал(а):

Сделать замену $x=t+\frac{a+b}2$ и ввести обозначения $c=\frac{a+b}2$ и $d=\frac{b-a}2$. В новых обозначениях уравнение окажется чуть более громоздким, но зато очень симметричненьким да к тому же ещё и биквадратным.

Вот с этим проблема:

$\frac{(a-x)^{4}+(b-x)^{4}}{((a-x)+(b- x))^{2}}=\frac{a^{4}+b^{4}}{(a+b)^{2}} \,\,\,\,\, (1)$

Введем замену: $x=t+\frac{a+b}{2}$ , и подставим в (1)

$\frac{\left(t+\frac{b-a}{2}\right)^{4}+\left(t+\frac{a-b}{2}\right)^{4}}{\left(\left(t+\frac{b-a}{2}\right)+\left(t+\frac{a-b}{2}\right)\right)^{2}}=\frac{a^{4}+b^{4}}{(a+b)^{2}}$ , после замены $c=\frac{a+b}{2}, d=\frac{a-b}{2}$ , получим:

$\frac{(t-d)^{4}+(t+d)^{4}}{((t-d)+(t+d))^{2}}=\frac{a^{4}+b^{4}}{4 \cdot c^{2}}$ , раскроем скобки слева и приведем:

$\frac{d^2(\frac{t^{4}}{d^2}+6 t^{2} +d^{2})}{2 t^{2}}=\frac{a^{4}+b^{4}}{4 c^{2}}$ или

$\frac{t^{2}}{d^{2}}+\frac{d^{2}}{t^{2}}+6=\frac{a^{4}+b^{4}}{2 c^{2} d^{2}} $ , т.к. $\frac{t^{2}}{d^{2}}+\frac{d^{2}} {t^{2}}=\left(\frac{t}{d}+\frac{d}{t}\right)^{2}-2 $ , сделаем замену $z=\frac{t}{d}+\frac{d}{t} $ и получим:

$z^{2}=\frac{a^{4}+b^{4}-8 c^{2} d^{2}}{2 c^{2} d^{2}}$ . Дальше тупик. Если делаю обратную замену и возвращаюсь к $a,b$ , то же самое. Если решать как биквадратное, будет еще более тягостно. Видимо, что-то не так делаю?

[alcoholist]

Stensen в сообщении #1563668 писал(а):

или

$\frac{t^{2}}{d^{2}}+\frac{d^{2}}{t^{2}}+6=\frac{a^{4}+b^{4}}{2 c^{2} d^{2}} $

так подставьте сюда $a=c+d$, $b=c-d$
и все четыре корня легко найти: $t=\pm c$ (эти мы уже знаем) и $t=\pm d^2/c$

[Stensen]

alcoholist в сообщении #1563669 писал(а):

так подставьте сюда $a=c+d$, $b=c-d$
и все четыре корня легко найти: $t=\pm c$ (эти мы уже знаем) и $t=\pm d^2/c$

Наконец срослось. Всем спасибо!

[ewert]

alcoholist в сообщении #1563669 писал(а):

Stensen в сообщении #1563668 писал(а):

или

$\frac{t^{2}}{d^{2}}+\frac{d^{2}}{t^{2}}+6=\frac{a^{4}+b^{4}}{2 c^{2} d^{2}} $

так подставьте сюда $a=c+d$, $b=c-d$

Разумеется, только я имел в виду делать это не здесь, а с самого начала:

$\frac{(t-d)^4+(t+d)^4}{(2t)^2}=\frac{(c-d)^4+(c+d)^4}{(2c)^2}, \qquad \frac{t^4-6t^2d^2+d^4}{t^2}=\frac{c^4-6c^2d^2+d^4}{c^2}.$

Дальше можно и в лоб, конечно, однако лучше обратить внимание на бросающуюся в глаза пару корней: $t^2=c^2$. И если теперь мысленно перекинуть знаменатель левой части в числитель правой, то в полученном квадратном уравнении относительно $t^2$ свободным членом окажется всего-навсего $d^4$, откуда по теореме Виета мгновенно, безо всякого счёта, получаем другую пару корней $t^2=\frac{d^4}{c^2}$.

-- Пн авг 29, 2022 11:11:27 --

(там после раскрытия скобок и сокращений у меня опечатка -- минусы вместо плюсов, но мне неохота её исправлять, т.к. на суть дела она не влияет)