Плотность вероятности и функция распределения?

[Divergence]

Вопрос о непрерывно распределенных случайных величинах на положительной полуоси.

Пусть $C_{PDF}(0,\infty)$ - это множество функций $f_X(x)$, удовлетворяющих набору условий (A) при которых они являются функциями плотности вероятности (PDF - probability density functions).
Пусть $C_{CDF}(0,\infty)$ - это множество функций $F_X(x)$, удовлетворяющих набору условий (B) при которых они являются функциями распределения вероятности (PDF - cumulitive distribution functions).

Интересуют такие наборы условий, при котрых оба следующих утверждения верны
$ \text{Если} \quad F_X(x) \in C_{CDF}(0,\infty) , \quad \text{тогда} \quad \frac{dF_X(x)}{dx} \, \in \, C_{PDF}(0,\infty) . $
$ \text{Если} \quad f_X(x) \in C_{PDF}(0,\infty) , \quad \text{тогда} \quad \int^x_0 f_X(x) \, dx \, \in \, C_{CDF}(0,\infty) . $

Можно написать условия для $C_{PDF}(0,\infty)$ в виде
A1) $f_X(x) \in C(0,\infty)$ (или $f_X(x) \in C[0,\infty)$).
A2) $f_X(x) \ge 0$ для всех $x>0$ (или для всех $x \ge 0$).
A3) $\int^{\infty}_0 f(x) \, dx \, = \, 1$.
A4) $f_X(x) = x^{a} \, g(x)$, где $g(x) \in C[0,\infty)$ и $a>-1$.

Можно написать условия для $C_{СDF}(0,\infty)$ в виде
B1) $F_X(x) \in C^1(0,\infty)$ (или $F_X(x) \in C^1[0,\infty)$).
B2) $dF_X(x)/dx \ge 0$ для всех $x>0$ (или для всех $x \ge 0$).
B3) $F_X(+\infty) dx \, = \, 1$.
B4) $F_X(0+) = 0$.

Вопрос Первый: Соответствие между условиями 1-3 кажется очевидным.
Смущает в 1 и 2 лишь $x>0$ или $x \ge 0$, а также $C(0,\infty)$ или $C[0,\infty)$; $C^1(0,\infty)$ или $C^1[0,\infty)$. Подозреваю можно выкинуть (выколоть).

Вопрос второй: Верно ли предложено условие (A4) для условия (B4)?

Вопрос Третий: Есть ли где-нибудь еще подвохи?

Буду благодарен за ссылки, в книгах и статьях (русс или англ).

[Otta]

Divergence в сообщении #1563456 писал(а):

A1) $f_X(x) \in C(0,\infty)$ (или $f_X(x) \in C[0,\infty)$).

Плотность не обязана быть непрерывной. Дальше не смотрю.

[Divergence]

Не обязана, но может.
Вопрос в другом. Если $F_X(x) \in C^1(0,\infty)$, то тогда $F^{(1)}_X(x) \in C(0,\infty)$,
и следовательно $f_X(x) \in C(0,\infty)$ так как $f_x(x)=F^{(1)}_X(x)$,
по определению и конечно в силу, так называемых фундаментальных теорем исчисления.

В обратную сторону, поскольку $f_X(x) \in C(0,\infty)$, то эта функция интегрируема и
следовательно $\int^x_0 f_X(x) dx \in C^1(0,\infty)$ и поэтому$F_X(x) \in C^1(0,\infty)$ по определению $F_X(x)$.

[Otta]

Divergence в сообщении #1563463 писал(а):

Вопрос в другом. Если $F_X(x) \in C^1(0,\infty)$, то тогда $F^{(1)}_X(x) \in C(0,\infty)$,
и следовательно $f_X(x) \in C(0,\infty)$ так как $f_x(x)=F^{(1)}_X(x)$,

Это да.

Divergence в сообщении #1563463 писал(а):

В обратную сторону, поскольку $f_X(x) \in C(0,\infty)$, то эта функция интегрируема и

А вот тут начинается непонятное. Вы складываете в одну кучу необходимые условия и достаточные, так как же разбираться, что Вы требуете, а что является неотъемлемым свойством?

[Divergence]

Если $f_X(x) \in C(0,\infty)$, то функция $f_X(x)$ интегрируема?
Существует ли интеграл $\int^x_0 f_X(x) dx $?
Принадлежит ли интеграл $\in C^1(0,\infty)$?

[alcoholist]

Если описать по-человечески множества $C_{\mathrm{CDF}}(0,+\infty)$ и $C_{\mathrm{PDF}}(0,+\infty)$, то

Если $F\in C_{\mathrm{CDF}}(0,+\infty)$, то $F'$ существует почти всюду и соответствующий класс является элементом $C_{\mathrm{PDF}}(0,+\infty)$.

Верно и обратное, если $f\in C_{\mathrm{PDF}}(0,+\infty)$, то $\int_0^xf(\xi)\,\mathrm{d}\xi\in C_{\mathrm{CDF}}(0,+\infty)$.

[Divergence]

Насколько я понял, то мною множества описаны не по-человечески?
Да, использовал описание в рамках "'элементарной теории вероятности".
Можно ли как-либо исправить мое описание (если там, что-то не очень), для указанный включений, находясь в непрерывных распределениях и $C(0,\infty)$, $C^1(0,\infty)$?

[alcoholist]

B1) $F(0)=0$

B2) $F(x_1)\le F(x_2)$ как только $x_1< x_2$ (монотонность)

B3) $\lim\limits_{x\to +\infty}F(x) =1$

B4) $F(x-0)=\lim\limits_{t\to x-0}F(t) =F(x)$ для всех $x>0$


Из монотонности следует дифференцируемость почти всюду

[Divergence]

Один из вопросов, относится скорее к математическому анализу.

Каким свойствам должна удовлетворять функция $f_x(x) \in C(0,\infty)$, чтобы $\lim_{x \to 0+} \int^x_0 f(u)du =0$ ?
Должно быть $f_X(x) \sim o(x^a)$ где $a>-1$. Верно?
Или другими словами $\lim_{x\to 0+} \frac{f_X(x)}{x^a} < \infty$ где $a>-1$. Верно?

[alcoholist]

Divergence в сообщении #1563477 писал(а):

Каким свойствам должна удовлетворять функция $f_x(x) \in C(0,\infty)$, чтобы $\lim_{x \to 0+} \int^x_0 f(u)du =0$ ?

не забудьте, что интеграл по всей оси равен 1 и что функция НЕ ОБЯЗАТЕЛЬНО непрерывна

-- Чт авг 25, 2022 16:38:40 --

Divergence в сообщении #1563477 писал(а):

Должно быть $f_X(x) \sim o(x^a)$

функция не обязана быть эквивалентной степенной в точке, логарифмы бывают, да мало ли еще что!

[Divergence]

А почему вам не нравиться монотонность в виде условия на неотрицательность производной $F^{(1)}_X(x) \ge 0$ ?
И зачем нам непрерывность только с одной стороны, если хотим жить в непрерывном мире?
Ваши (используемые и в учебниках) обобщения моих условий, разве нужны, если определять сразу

$$F_X(x)=\int^x_0 f_X(x) dx$$

Я ХОЧУ рассматривать ТОЛЬКО непрерывные плотности вероятности!

Исходно брал матан, где определял

$$ F_X(x) \, := \, \int^x_0 f_X(x) dx , \quad f_X(x) \, := \, \frac{dF_X(x)}{dx} . $$

Фундаментальные теоремы обеспечивают взаимосвязь

$$ \frac{d}{dx}\int^x_0 f_X(u) \, du \, = \, f_x(x) , \quad \int^x_0 F^{(1)}_X(u) \, du \, = \, F_x(x) \, - \, F_X(0+) $$

Эти теоремы верны, если $f_X(x) \in C(0,\infty)$ и $F_X(x) \in C^1(0,\infty)$.
Далее смотрю, какие надо наложить дополнительные условия на эти функции, что бы обе эти функции были бы PDF и CDF.
При этом хочется понять взаимосвязь дополнительных условий для $f_X(x) \in C(0,\infty)$ и дополнительных условий для $А_X(x) \in C^1(0,\infty)$.

[Null]

Если $ \int^\varepsilon_0 f(u)du $ существует(при некотором $\varepsilon>0$) то $\lim_{x \to 0+} \int^x_0 f(u)du =0$ для интегралов Римана/Лебега

[alcoholist]

Divergence в сообщении #1563479 писал(а):

Я ХОЧУ рассматривать ТОЛЬКО непрерывные плотности вероятности!

то есть равномерное распределение проигнорируете?

-- Чт авг 25, 2022 16:47:45 --

Divergence в сообщении #1563479 писал(а):

верны, если

но не "только если"

[Divergence]

alcoholist в сообщении #1563481 писал(а):

то есть равномерное распределение проигнорируете?

Приходится чем-то жертвовать.
Особенное, если нужны непрерывные распределения на ВСЕЙ положительной полуоси.

[alcoholist]

Divergence в сообщении #1563482 писал(а):

Приходится чем-то жертвовать.
Особенное, если нужны непрерывные распределения на ВСЕЙ положительной полуоси.

не надо ничем жертвовать, возьмите в качестве cdf вот эти книжные, что я привел, а в качестве pdf их производные (они определены почти всюду, но нам и не интересно значение плотности распределения в точке)