Обратное естественное преобразование

[EminentVictorians]

Маклейн. Категории для работающего математика, стр. 27. писал(а):

1.4 Естественные преобразования
Пусть даны два функтора $S, T: C \to B$. Естественное преобразование $\tau: S \dot{\to} T$ - это функция, которая каждому объекту $c$ из $C$ сопоставляет стрелку $\tau_c = \tau c: Sc \to Tc$ из $B$ таким образом, что для каждой стрелки $f: c \to c'$ из $C$ следующая диаграмма коммутативна:

$$\xymatrix{Sc \ar[d]_{Sf} \ar[r]^{\tau c} & Tc \ar[d]^{Tf} \\ Sc' \ar[r]^{\tau c'} & Tc'}$$

$$\xymatrix{c \ar[d]_{f} &\\ c'}$$

В этом случае мы говорим также, что стрелка $\tau c: Sc \to Tc$ естественна по $c$. Если считать, что функтор $S$ создает в $B$ изображение (всех объектов и всех стрелок) категории $C$, то естественное преобразование $\tau$ - это совокупность стрелок, отображающих (или переводящих) картинку $S$ в картинку $T$, причем коммутативны всевозможные квадраты (и параллелограммы!) вроде изображенного выше. Мы называем $\tau a$, $\tau b$, $\tau c$, ... компонентами естественного преобразования $\tau $.
[...]
Естественное преобразование часто называют морфизмом функторов; если каждая компонента $\tau c$ естественного преобразования $\tau$ обратима в категории $B$, то $\tau$ называется естественной эквивалентностью или, лучше, естественным изоморфизмом; в символической записи $\tau: S \widetilde{=} T$. В этом случае обратные стрелки $(\tau c)^{-1}$ в $B$ являются компонентами естественного изоморфизма $\tau^{-1}: T \dot{\to} S$

У меня проблема с последним абзацем:

Цитата:

Естественное преобразование часто называют морфизмом функторов; если каждая компонента $\tau c$ естественного преобразования $\tau$ обратима в категории $B$, то $\tau$ называется естественной эквивалентностью или, лучше, естественным изоморфизмом; в символической записи $\tau: S \widetilde{=} T$. В этом случае обратные стрелки $(\tau c)^{-1}$ в $B$ являются компонентами естественного изоморфизма $\tau^{-1}: T \dot{\to} S$

Не получается доказать этот факт, что вот эти обратные стрелки действительно будут компонентами естественного изоморфизма $\tau^{-1}: T \dot{\to} S$.

Начало доказательства такое. Берем произвольную стрелку $c \overset{f}{\to} c'$ из категории $C$. Надо доказать, что диаграмма

$$\xymatrix{Sc \ar[d]_{Sf} & Tc \ar[d]^{Tf} \ar[l]^{\tau^{-1} c} \\ Sc' & Tc' \ar[l]^{\tau^{-1} c'}}$$

коммутативна.

Проблема в том, что по условию обратимы только стрелки - компоненты естественного преобразования $\tau$. Т.е. только часть стрелок из $B$. Обратимых стрелок очень мало. Никто не гарантирует, например, что обратима стрелка $c \overset{f}{\to} c'$ из $C$ или ее образы $Sf$ и $Tf$ при действиях функторов $S$ и $T$. Если бы обратимых стрелок было бы больше, я бы что-нибудь придумал. Но, кажется, что их слишком мало. В общем, помогите доказать коммутативность этой диаграммы (если это вообще возможно, а то вдруг у Маклейна просто пропущено какое-нибудь условие, которое даст больше обратимых стрелок).

[EminentVictorians]

Вот как я бы доказывал коммутативность этой диаграммы, если бы были обратимы все нужные стрелки. Сразу напишу, что под композицией $f \circ g$ я понимаю сначала действие $f$, а потом действие $g$, иными словами $(f \circ g)(x) = g(f(x))$.

$\tau^{-1} c \circ Sf = \tau^{-1} c \circ ((Sf)^{-1})^{-1} = ((Sf)^{-1} \circ \tau c)^{-1} = (Sf^{-1} \circ \tau c)^{-1}$
$Tf \circ \tau^{-1} c' = ((Tf)^{-1})^{-1} \circ \tau^{-1} c' = (\tau c' \circ (Tf)^{-1})^{-1} = (\tau c' \circ Tf^{-1})^{-1}$

Последние стрелки $(Sf^{-1} \circ \tau c)^{-1}$ и $(\tau c' \circ Tf^{-1})^{-1}$ в этих двух равенствах равны (очевидно вытекает из прямого естественного преобразования), а значит равны и первые стрелки, что в точности означает, что нужная нам диаграмма коммутативна.

Проблема в том, что я везде использовал обратные стрелки, где хотел. Но никто не обещал, что эти обратные стрелки существуют. Помимо обратных для стрелки $c \overset{f}{\to} c'$ и ее образов $Sf$ и $Tf$, о которых я уже говорил, никто не гарантирует даже существование стрелки $(Sf^{-1} \circ \tau c)^{-1} = (\tau c' \circ Tf^{-1})^{-1}: Tc \to Sc'$ в категории $B$ и даже стрелки $(Sf^{-1} \circ \tau c) = (\tau c' \circ Tf^{-1}): Sc' \to Tc$ в ней же.

Пока я думаю, что в книге действительно пропущено какое-то требование, которое будет гарантировать существование обратных для всех нужных стрелок. Как обойтись только теми стрелками, которые даны по условию - я совсем не представляю.

[Slav-27]

Ничего не пропущено, нужное равенство получается из соответствующего равенства для прямого преобразования домножением слева и справа.

[EminentVictorians]

Slav-27, спасибо, получилось!

Обозначим $\mu_1 = \tau^{-1} c \circ Sf$ и $\mu_2 = Tf \circ \tau^{-1} c'$. Наша задача - доказать, что $\mu_1 = \mu_2$.

$$\mu_1 = \tau^{-1} c \circ \tau c \circ \mu_1 = \tau^{-1} c \circ \tau c \circ \tau^{-1} c \circ Sf = \tau^{-1} c \circ Sf$$

$$\mu_2 = \tau^{-1} c \circ \tau c \circ \mu_2 = \tau^{-1} c \circ \tau c \circ Tf \circ \tau^{-1} c' = \tau^{-1} c \circ Sf \circ \tau c' \circ \tau^{-1} c' = \tau^{-1} c \circ Sf$$

Последние части равенств равны, а значит $\mu_1 = \mu_2$.