Маклейн. Категории для работающего математика, стр. 27. писал(а):
1.4 Естественные преобразованияПусть даны два функтора

.
Естественное преобразование 
- это функция, которая каждому объекту

из

сопоставляет стрелку

из

таким образом, что для каждой стрелки

из

следующая диаграмма коммутативна:
![$$\xymatrix{c \ar[d]_{f} &\\ c'}$$ $$\xymatrix{c \ar[d]_{f} &\\ c'}$$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/7/2/8/72867a909a8fb372ed0137eb53b71a6582.png)
В этом случае мы говорим также, что стрелка
естественна по

. Если считать, что функтор

создает в

изображение (всех объектов и всех стрелок) категории

, то естественное преобразование

- это совокупность стрелок, отображающих (или переводящих) картинку

в картинку

, причем коммутативны всевозможные квадраты (и параллелограммы!) вроде изображенного выше. Мы называем

,

,

, ...
компонентами естественного преобразования

.
[...]
Естественное преобразование часто называют
морфизмом функторов; если каждая компонента

естественного преобразования

обратима в категории

, то

называется
естественной эквивалентностью или, лучше,
естественным изоморфизмом; в символической записи

. В этом случае обратные стрелки

в

являются компонентами естественного изоморфизма

У меня проблема с последним абзацем:
Цитата:
Естественное преобразование часто называют
морфизмом функторов; если каждая компонента

естественного преобразования

обратима в категории

, то

называется
естественной эквивалентностью или, лучше,
естественным изоморфизмом; в символической записи

. В этом случае обратные стрелки

в

являются компонентами естественного изоморфизма

Не получается доказать этот факт, что вот эти обратные стрелки действительно будут компонентами естественного изоморфизма

.
Начало доказательства такое. Берем произвольную стрелку

из категории

. Надо доказать, что диаграмма
![$$\xymatrix{Sc \ar[d]_{Sf} & Tc \ar[d]^{Tf} \ar[l]^{\tau^{-1} c} \\ Sc' & Tc' \ar[l]^{\tau^{-1} c'}}$$ $$\xymatrix{Sc \ar[d]_{Sf} & Tc \ar[d]^{Tf} \ar[l]^{\tau^{-1} c} \\ Sc' & Tc' \ar[l]^{\tau^{-1} c'}}$$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/b/6/d/b6d000b05a9b930f5664b5884249c99882.png)
коммутативна.
Проблема в том, что по условию обратимы только стрелки - компоненты естественного преобразования

. Т.е. только часть стрелок из

. Обратимых стрелок очень мало. Никто не гарантирует, например, что обратима стрелка

из

или ее образы

и

при действиях функторов

и

. Если бы обратимых стрелок было бы больше, я бы что-нибудь придумал. Но, кажется, что их слишком мало. В общем, помогите доказать коммутативность этой диаграммы (если это вообще возможно, а то вдруг у Маклейна просто пропущено какое-нибудь условие, которое даст больше обратимых стрелок).