Симметрические многочлены

[Jexer]

Цитата:

отчего Вы решили, что второе будет множеством симметричных многочленов от трёх своих аргументов

Так каждая функция во втором множестве будет иметь вид $\frac{F(p,q)+f(p/q)\sqrt{D}}{F'(p,q)+f'(p,q)\sqrt{D}}$. Меняя местами $x$ и $y$ ни $F(p,q)$, ни другие многочлены не меняются. Даже D не меняется, так как это тоже многочлен от $p,q$.
Другое дело, что извлекая корень мы получаем два числа.

[Евгений Машеров]

И вида такого иметь не будет...

[mihaild]

Jexer в сообщении #1562865 писал(а):

Представьте что множество $M(p,q)$ "генерируется" через $p,q$. В нём находятся числа, которые получаются из формул, составленных с помощью $p,q$, с помощью арифметических операций

Т.е. просто $M(p, q) = \mathbb R$ (или с каким кольцом вы там работаете)? Потому что любое число $x$ легко получается по формуле $p \cdot 0 + q \cdot 0 + x$.

[Jexer]

Нет, не $\mathbb{R}$, а $\mathbb{Q}$. В этом множестве нет корней, если $p,q$ целые.
Ведь можно выразить единицу как $\frac{p}{p}=1$. Тогда легко представить любую дробь: $\frac{1+\dots+1}{1+\dots+1}$, где в числителе единица берется a раз, а в знаменателе b раз.

[mihaild]

Зачем эти выражения, что, константа уже не многочлен?

В любом случае, что вы хотите-то? Очевидно, что если $p(x, y)$ и $q(x, y)$ - симметричные многочлены (и вообще любые симметричные функции) от $x$ и $y$, то функции (и тем более многочлена) $F$ такой что $\forall x \forall y: F(p(x, y), q(x, y)) = x$ не существует. Потому что подставив в это утверждение $x = 0$, $y = 1$ и $x = 1$, $y = 0$ мы получим $0 = 1$.

[Someone]

Jexer в сообщении #1562843 писал(а):

Изучаю симметрические многочлены по книге "симметрия в алгебре". Возник такой вопрос.
Допустим

$$x+y=p$$

$$xy=q$$

Тогда любой многочлен $P(p,q)$ является симметричным относительно $x, y$
От сюда и сумма/разность/произведение/дробь от двух симметричных многочленов так же симметричный многочлен.
Но допустим что $x$ и $y$ выражаются через $p, q$. Тогда

$$F(p,q)=x$$

$$f(p,q)=y$$

можем составить равенство $x-y = F - f$.
Справа разность симметрических многочленов. Она должна равняться симметрическому многочлену. Но $x-y$ не симметричный.

Следовательно, сделанное Вами допущение, что $x$ и $y$ выражаются через $p$ и $q$, является ложным, то есть, хотя бы один из многочленов $x$ и $y$ не выражается через $p$ и $q$ (возможно, оба).
На этом рассуждение заканчивается, а всё, что Вы понаписали в теме далее — словоблудие, единственная цель которого — запутать собеседника (и, возможно, самого себя).