Симметрические многочлены

[Jexer]

Изучаю симметрические многочлены по книге "симметрия в алгебре". Возник такой вопрос.
Допустим

$$x+y=p$$

$$xy=q$$

Тогда любой многочлен $P(p,q)$ является симметричным относительно $x, y$
От сюда и сумма/разность/произведение/дробь от двух симметричных многочленов так же симметричный многочлен.
Но допустим что $x$ и $y$ выражаются через $p, q$. Тогда

$$F(p,q)=x$$

$$f(p,q)=y$$

можем составить равенство $x-y = F - f$.
Справа разность симметрических многочленов. Она должна равняться симметрическому многочлену. Но $x-y$ не симметричный. Как такое возможно?

[Евгений Машеров]

А почему Вы решили, что F и f - симметричные многочлены? Или хотя бы просто многочлены?

[Jexer]

Можно построить пример

$$2+3=5=p$$

$$2\cdot3=6=q$$

Тогда $3=3(q-p)$; $2=2(q-p)$
От сюда $3-2=3(q-p)-2(q-p)=q-p$

[nnosipov]

Jexer
Вы выпишите явно, эти выражения $F$ и $f$. Посмотрите на них. Многочлены ли они? Меняются ли они при замене $p$ на $q$ и наоборот?

-- Вт авг 16, 2022 17:14:16 --

Jexer в сообщении #1562845 писал(а):

Можно построить пример

А что этот пример должен показать?

[Jexer]

Замена происходит $x$ на $y$, а не $p$ на $q$.
Выше в примере я явно выразил $x,y$ через $p,q$. $x=3(q-p)$, $y=2(q-p)$. Оба выражение справа симметричные относительно $x,y$. Сумма/разность этих выражений тоже должна являться симметричным многочленом относительно $x,y$. Это, в общем, так и есть. Но если эти выражения заменить на $x,y$, то симметрия теряется.
Да, в общем случае нужно использовать квадратный корень, но в некоторых конкретных можно и без него.

[nnosipov]

Jexer в сообщении #1562849 писал(а):

Выше в примере я явно выразил $x,y$ через $p,q$. $x=3(q-p)$, $y=2(q-p)$.

Так это не равенство многочленов, а равенство чисел. У Вас происходит подмена понятий.

[Jexer]

Попытаюсь другими словами объяснить.
С помощью $p,q$ можно составить многочлены $P(p,q)$. Все они симметричны относительно $x,y$. Эти многочлены можно складывать, умножать и делить. Обозначим их как множество $M(p,q)$.
Допустим среди множества M(p,q) нет чисел $x,y$, нет многочлена от $p,q$, через который можно их выразить.
Тогда мы можем выразить $x,y$ через $p,q$ с помощью формулы корней квадратного уравнения. Но нам потребуется корень от $D$ дискриминанта. То есть $x,y$ лежат в множестве, образованным, если к $M(p,q)$ присоединить $\sqrt{D}$ и составить новые многочлены. Это множество можно обозначить $M(p,q,\sqrt{D}$)
Допустим теперь, что перестановка $(x,y)$ влияет как бы сразу на все элементы $M$. Если $x,y$ не лежат в $M(p,q)$, то каждый элемент остаётся на месте. Так как $x,y$ лежат в $M(p,q,\sqrt{D})$, то можно составить многочлен $F-f=x-y$, или даже просто $F=x$. Если к ним применить перестановку, то равенство нарушается. Почему оно нарушается?
В случае с $M(p,q,\sqrt{D})$ можно всё списать(как мне кажется) на извлечение квадратного корня, он ведь не однозначен.
Но в случае, если $x,y$ лежат в $M(p,q)$, мне непонятно, почему равенство нарушается.

Цитата:

Так это не равенство многочленов, а равенство чисел. У Вас происходит подмена понятий.

Но $p,q$ это ведь конкретные числа, можно в выражении, составленном из этих букв, заменить их на эти числа.

[Евгений Машеров]

Jexer в сообщении #1562855 писал(а):

Допустим среди множества M(p,q) нет чисел $x,y$, нет многочлена от $p,q$, через который можно их выразить.

А вот это верно.

-- 16 авг 2022, 15:56 --

Jexer в сообщении #1562855 писал(а):

Так как $x,y$ лежат в $M(p,q,\sqrt{D})$,

А вот это неверно. Вы обозначили M множество симметричных многочленов. А оно будет симметричным относительно перестановки p или q с $\sqrt {D}$?

[Sender]

Jexer в сообщении #1562855 писал(а):

Но $p,q$ это ведь конкретные числа, можно в выражении, составленном из этих букв, заменить их на эти числа.

Тогда непонятно, о какой симметрии вы говорите.

[Евгений Машеров]

Jexer в сообщении #1562849 писал(а):

Выше в примере я явно выразил $x,y$ через $p,q$. $x=3(q-p)$, $y=2(q-p)$

Нет. Вы не выразили x,y через p,q, а подобрали такие значения, что придуманные Вами выражения приняли то же значение, что и выражение x, y через p,q.
Вася и Петя имеют рост 170см. Следует ли из этого, что Вася и Петя один и тот же человек?

[Sender]

Jexer в сообщении #1562843 писал(а):

Тогда

$$F(p,q)=x$$

$$f(p,q)=y$$

И, кстати, допустим, вам удалось получить выражения для $F$ и $f$, почему вы решили, что $F(p,q)=x$ и $f(p,q)=y$, а не наоборот: $F(p,q)=y$ и $f(p,q)=x$?

[Jexer]

Цитата:

А вот это неверно. Вы обозначили M множество симметричных многочленов. А оно будет симметричным относительно перестановки p или q с $\sqrt {D}$?

Нет конечно, так как $p-q$ уже несимметрично относительно $(p,q)$. Но симметрично относительно $(x,y)$

Цитата:

Тогда непонятно, о какой симметрии вы говорите.

Разве я не могу каждый многочлен $P(p,q)$ ассоциировать с числом, которое получится, если на место $p,q$ поставить их численные значения? Они ведь у меня заранее заданны, а не я их выдумываю.

Представьте что множество $M(p,q)$ "генерируется" через $p,q$. В нём находятся числа, которые получаются из формул, составленных с помощью $p,q$, с помощью арифметических операций. Так как и $q$, и $p$ порождены $x$ и $y$, то $M(x,y)$ содержит в себе $M(p,q)$. В каждой формуле $F(x,y)$ мы можем поменять местами $x,y$ и получить иное значение. Можно сказать, что перестановка $(x,y)$ отображает каждый элемент, каждое число $a$ из $M(x,y)$ в какой-то другой элемент $b$. Но так как $M(p,q)$ симметричны относительно перестановок $(x,y)$, то все элементы в этом множестве остаются на месте. Но это верно лишь в том случае, если в $M(p,q)$ не содержатся $x,y$. Если содержатся, то перестановка уже не оставляет элементы $M(p,q)$ на месте, но это противоречит тому, что $M(p,q)$ состоит из симметрических относительно $x,y$ выражений.

[nnosipov]

Jexer в сообщении #1562865 писал(а):

Представьте что множество $M(p,q)$ "генерируется" через $p,q$.

На таком уровне невозможно что-либо содержательно обсуждать. Вы сначала определите этот объект, который Вы обозначили через $M(p,q)$, а потом мы обсудим его свойства.

[Jexer]

Ну, мы просто составляем выражения из $p,q$ с помощью алгебраических операций. Составляем многочлены от $p,q$, а так же дроби от них. Затем вместо $p,q$ подставляем их численное значения и вычисляем. Получаем множество чисел. На каждое число можно смотреть и как на число, и как на многочлен, или дробь, где в числителе и знаменателе многочлены от $p,q$

[Евгений Машеров]

Ещё раз. У Вас два множества функций, оба Вы обозначили через M. Однако это допустимо постольку, поскольку одно множество функций от двух аргументов, другое от трёх (хотя лучше бы развести обозначения). Первое - множество симметричных многочленов от p и q, отчего Вы решили, что второе будет множеством симметричных многочленов от трёх своих аргументов?
По-моему, у Вас вышел софизм, основанный на неудачном выборе обозначений, что позволяет сбить с толку читающего, которому может показаться, что свойства "первого М" переносимы на "второе М".