Движение велосипеда с точки зрения физики

[Roza_Robot]

Доброго времени суток, форумчане!
Не могу правильно решить задачу 26.29 из задачника Мещерского по теормеху.
Задача следующая. Есть велосипед, который хочет повернуть. Нам известна его скорость, радиус поворота. Нужно найти угол наклона велосипеда и коэффициент трения. Я попробовал самостоятельно решить данную задачу, численно ответ совпадает, но знак отличается (даже с точки зрения логики результата не может такого быть). Заглянул в решебник и все различие состоит в том, что в этом самом решебнике почему-то сила трения и ц/c сила сонаправлены. Совершенно не могу понять почему так. Собственно вопрос в том, что же я делаю не так)
Мой путь решения:
Пусть мы рассматриваем велосипед относительно ИСО. В ней, как известно, нет сил инерции, а есть центростремительные силы. Т.к. велосипед поворачивает направо, то ц/с силы направлено вправо, силы трения же препятствуют этому движению и поэтому направлены влево. Сила реакции опоры и сила тяжести у меня не меняются. Запишем проекции уравнения баланса импульса и уравнения баланса момента импульса относительно точки соприкосновения велосипеда и поверхности.

$$ \frac{mv^2}{R} = - \mu N$$

$$0 = N - mg$$

$$0 = AB\sin(\alpha)mg+AB\cos(\alpha)\frac{mv^2}{R}$$

точка B - центр масс, $\alpha$ - угол наклона велосипеда по отношению к вертикали из точки А.
Отсюда получается, что

$$\mu=-\frac{v^2}{gR}$$

Чего не может быть. Направьте, пожалуйста, на путь истинный. Буду весьма благодарен! Видимо, именно поэтому я не умею кататься на велосипеде

[Pphantom]

Тема перемещена из форума «Помогите решить / разобраться (Ф)» в форум «Карантин»
по следующим причинам:

- отсутствует формулировка предмета обсуждения; для обсуждения решения задачи стоит ее как минимум сформулировать.

Исправьте все Ваши ошибки и сообщите об этом в теме Сообщение в карантине исправлено.
Настоятельно рекомендуется ознакомиться с темами Что такое карантин и что нужно делать, чтобы там оказаться и Правила научного форума.

[Pphantom]

Тема перемещена из форума «Карантин» в форум «Помогите решить / разобраться (Ф)»

-- 13.08.2022, 19:33 --

Roza_Robot в сообщении #1562644 писал(а):

силы трения же препятствуют этому движению и поэтому направлены влево

Откуда сие следует?

[svv]

Картинка из решебника:

Roza_Robot в сообщении #1562644 писал(а):

Заглянул в решебник и все различие состоит в том, что в этом самом решебнике почему-то сила трения и ц/c сила сонаправлены.

Потому что это одна и та же сила. Она по своей природе является силой трения, она направлена к центру поворота и обеспечивает центростремительное ускорение. Никакой специальной "центростремительной силы" нет — так называется та составляющая силы или нескольких сил, которая заставляет тело поворачивать вокруг центра кривизны траектории.

Сила трения — единственная сила в задаче, направленная горизонтально. И, повторюсь, именно сила трения, направленная вправо, поворачивает велосипед вправо. Больше некому.

Если бы велосипедист начал поворачивать вправо, а сила трения вдруг отключилась (например, если бы он въехал в разлитое масло), поворот вправо прекратился бы.

[sergey zhukov]

Roza_Robot
Если на велосипедиста по вашему действуют одновременно уравновешивающие (видимо) друг-друга центростремительная сила и сила трения, то с чего же он вообще поворачивает? Конечно, на него действует (направленная к центру) одна только сила трения, под действием которой он и едет по кругу, а не по прямой.

[Roza_Robot]

Спасибо большое всем! Ошибку понял, больше так не буду

[druggist]

Roza_Robot в сообщении #1562644 писал(а):

Задача следующая. Есть велосипед, который хочет повернуть. Нам известна его скорость, радиус поворота. Нужно найти угол наклона велосипеда и коэффициент трения.

Несколько смутила эта формулировка вопроса задачи, пришлось "погуглить" и, действительно, в оригинале:

Цитата:

Найти угол наклона срединной плоскости велосипеда к вертикали, а также тот наименьший коэффициент трения между шинами велосипеда и полотном дороги, при котором будет обеспечена устойчивость велосипеда.

[Roza_Robot]

druggist в сообщении #1562803 писал(а):

Roza_Robot в сообщении #1562644 писал(а):

Задача следующая. Есть велосипед, который хочет повернуть. Нам известна его скорость, радиус поворота. Нужно найти угол наклона велосипеда и коэффициент трения.

Несколько смутила эта формулировка вопроса задачи, пришлось "погуглить" и, действительно, в оригинале:

Цитата:

Найти угол наклона срединной плоскости велосипеда к вертикали, а также тот наименьший коэффициент трения между шинами велосипеда и полотном дороги, при котором будет обеспечена устойчивость велосипеда.

Да я не вдавался в подробности просто потому что, я знал где ошибка, но не знал, почему так)

-- 16.08.2022, 17:41 --

Дорогие форумчане!
Еще раз приветствую всех!
После исправления направления силы трения, действительно получается, что:
$\mu=\frac{v^2}{Rg}$
Но из уравнения баланса момента импульса (оно у меня 3 записанное в шапке этой темы) совершенно элементарными преобразованиями приходим к:
$\tg(\alpha)=-\frac{v^2}{Rg}$
Не могу разобраться как победить этот последний минус. Хотя если записать это уравнение относительно центра масс, то все становится хорошо. Но принцип не дает так просто отвернуться и не понять, в чем, собственно, соль проблемы)
Заранее благодарю всех за помощь!

[svv]

Roza_Robot в сообщении #1562875 писал(а):

Не могу разобраться как победить этот последний минус. Хотя если записать это уравнение относительно центра масс, то все становится хорошо. Но принцип не дает так просто отвернуться и не понять, в чем, собственно, соль проблемы)

Чтобы понять, в чём проблема, я предлагаю Вам разрешить парадокс.

Примем два упрощающих предположения:
1) Пренебрегаем моментами импульса вращающихся колёс (как и Мещерский).
2) Будем считать, что вся масса системы "велосипедист+велосипед" сосредоточена в центре масс. Отсюда, кстати, следует и 1).
Пусть велосипедист ездит по кругу, вращаясь вокруг прямой $CD$. Точка $D$ находится на земле, а $C$ находится на той же высоте, что и центр масс (с учётом наклона велосипедиста). Колесо касается земли в точке $A$, центр масс в точке $B$.

Я хочу вычислить суммарный момент всех сил, действующих на систему, относительно точки $C$. Момент силы — величина векторная, но меня интересует только проекция вектора момента на ось, перпендикулярную рисунку. Если эта ось, проходя через $C$, направлена к "зрителю", то моменты силы тяжести и силы трения будут положительными (они стремятся вращать велосипедиста вокруг $C$ в плоскости рисунка против часовой стрелки). А момент силы реакции опоры будет отрицательным (стремится вращать велосипедиста вокруг $C$ в плоскости рисунка по часовой стрелке). Находим
момент силы тяжести: $mg\;CB$
момент силы трения: $F_{\text{тр}}\;CD=\frac{mv^2}r\;AB\;\cos\alpha$
момент силы реакции: $-mg\;DA=-mg(CB+AB\sin\alpha)$
Поскольку момент импульса относительно точки $C$ сохраняется, сумма этих моментов сил равна нулю. Отсюда находим $\tg\alpha=\frac{v^2}{gr}$. Всё прекрасно!

Теперь найдём то же самое относительно точки $D$.
момент силы тяжести: $mg\;CB$
момент силы трения равен нулю, потому что плечо равно нулю
момент силы реакции: $-mg\;DA=-mg(CB+AB\sin\alpha)$
Из условия равенства суммарного момента нулю находим $\sin\alpha=0$ — явно неверный результат.

В чём дело?

Если аналогично найти сумму моментов относительно точки $A$ (это неподвижная точка, мгновенно совпадающая с точкой касания колёс и земли), получим, что и момент силы трения, и момент силы реакции равны нулю (т.к. равны нулю радиус-векторы точек приложения этих сил относительно $A$). Как Вы помните, нет никакой дополнительной центростремительной силы. Остаётся момент силы тяжести $-mg\;AB\sin\alpha$. Приравнивая сумму к нулю, получаем опять $\sin\alpha=0$.

В чём же дело?

[Roza_Robot]

Хмм, интересную задачку задали, ну попробуем разобраться!
Первое что приходит на ум, это то, что мы где-то допустили ошибку. Или что-то не учли. Первый вариант отметается, попробуем раскрутить второй.
Для начала посмотрим на теорему об изменении кинетического момента относительно произвольно движущегося центра (давайте выберем точку D). Слева в уравнении у нас стоит производная от кинетического момента по времени, она равна нулю, т.к. момент инерции и угловая скорость у нас относительно Вами указанной оси не меняются, значит суммарный момент все-таки и правда должен быть равен нулю. Двигаемся дальше.
Справа же в уравнении теоремы помимо моментов внешних сил, у нас есть еще слагаемое $mv_C \times v_D$, где $v_C \times v_D$ - векторное умножение скорости центра масс и скорости точки, которую мы выбрали (а выбрали D), но скорость выбранной точки $= 0$, значит слагаемое тоже нулевое..
Хмм, не получилось, ладно, пойдем от результата. Т.к. суммарный момент у нас будет равен $-mgAB\sin(\alpha)$, то стало быть нам требуется слагаемое $\frac{mv^2}{R}AB\cos(\alpha)$ для нулевой суммы.
Если представить, что это за сила, то как будто она действует из центра масс (или на высоте центра масс), причем сама сила направлена как ц/б сила инерции и по модулю она $\frac{mv^2}{R}$
Но этой силы нет в нашей ИСО, и вообще горизонтально направленных сил нет, кроме силы трения, но она не дает момент по вышеизложенным причинам.
Мда, интересненько, видимо что-то я в упор не вижу.
Причем скорее всего, факт того, что для точек на уровне центра масс все в порядке, а для точек, расположенных не на одной высоте все не в порядке, как-то играет роль в этом "парадоксе".

Pphantom:

Пожалуйста, внимательнее относитесь к набору формул, в частности, не путайте кириллические буквы с латинскими. Стандартные функции набираются как \sin и т.п. Выше это уже поправлено.

[svv]

Roza_Robot в сообщении #1563180 писал(а):

Причем скорее всего, факт того, что для точек на уровне центра масс все в порядке, а для точек, расположенных не на одной высоте все не в порядке, как-то играет роль в этом "парадоксе".

Точно. Хотя, вроде бы, никто не запрещал использовать в качестве начала любую точку.

Чтобы упростить рассуждения, я буду предполагать, что начало (точка, относительно которой вычисляются момент силы и момент импульса) неподвижно.
Векторная сумма моментов внешних сил, действующих на систему, равна нулю, если сохраняется момент импульса системы
$\mathbf L=\sum\limits_{k=1}^n \mathbf r_k\times\mathbf p_k=\sum\limits_{k=1}^n m_k\mathbf r_k\times\mathbf v_k$
В нашем случае вся масса сосредоточена в центре масс, так что остаётся одно слагаемое:
$\mathbf L=\mathbf r\times\mathbf p=m\mathbf r\times\mathbf v$,
где $\mathbf r$ — радиус-вектор центра масс системы «велосипедист+велосипед» относительно начала.

Если началом является точка $C$, радиус-вектор $\mathbf r=\overrightarrow{CB}$ лежит в горизонтальной плоскости, а $\mathbf p=m\mathbf v$ тоже в горизонтальной и перпендикулярен ему, так что $\mathbf L$ направлен вертикально (а конкретно — вниз, учитывая все направления) и по модулю равен $mrv$, где $r=CB$. Очевидно, получается постоянная величина, т.е. момент импульса сохраняется. (Хотя вообще-то он сохраняться не обязан, поскольку на систему действуют внешние силы.)

Если началом является точка $D$, радиус-вектор $\mathbf r=\overrightarrow{DB}$ уже не лежит в горизонтальной плоскости, а потому и момент импульса не направлен вертикально вниз. Это выглядит так:

Тут $\mathbf r$ изображён зелёным, а $\mathbf L$ красным. Для наглядности он отложен и от точки $B$, и от точки $D$.
Но если момент импульса направлен не по вертикали, ясно, что он будет вращаться вместе с велосипедистом. Следовательно, он не будет сохраняться! И векторная сумма моментов сил уже не может быть равна нулю.

[Roza_Robot]

Большое спасибо, svv, все очень подробно объяснили!
Спасибо большое Вам, все встало на свои места.
С точкой А тоже самое, да.
Благодарю еще раз!

[svv]

Roza_Robot, рад был помочь.

Пусть $C$ — «хорошее» неподвижное начало, момент импульса относительно которого сохраняется, а $O$ — некоторое произвольное начало (но тоже неподвижное). Как будет изменяться во времени момент импульса относительно $O$ ?

Обозначим эти моменты соответственно $\mathbf L_C$ и $\mathbf L_O$. Пусть $\mathbf c=\overrighhtarrow{OC}$, это постоянный вектор. Точка $B$, как и раньше — центр масс системы (в котором сосредоточена вся масса). Имеем
$\begin{array}{l}\mathbf L_O=\overrightarrow{OB}\times\mathbf p=(\overrightarrow{OC}+\overrightarrow{CB})\times \mathbf p=\mathbf c\times\mathbf p+\mathbf L_C\\\dfrac{d\mathbf L_O}{dt}=\mathbf c\times\dfrac{d\mathbf p}{dt}+\mathbf 0=\mathbf c\times\mathbf F\end{array}$

Для нас желательно, чтобы это выражение было равно нулю. Это происходит, когда $\mathbf c=\mathbf 0$ (то есть $O$ совпадает с $C$), либо когда равнодействующая сил равна нулю (но это не наш случай). И, кроме того, когда вектор $\mathbf c$ коллинеарен $\mathbf F$. Так было, когда Вы вычисляли момент относительно $B$. Но если точка $B$ неподвижна (мгновенно совпадает с центром масс), в следующий момент коллинеарности уже не будет.

[Roza_Robot]

Ага, критерии понял, разобрался.
Ну все, теперь любая задача с моментом импульса мне по плечу!
Неимоверно благодарен! Выражаю Вам свое почтение.