Нормированные пространства с разными свойствами

[artempalkin]

Добрый день!
Есть несколько свойств нормированных пространств как пространств: рефлексивность, сепарабельность, полнота. Интересно было бы увидеть примеры пространств, обладающих и не обладающих каждым из этих свойств. Итого 8 пространств. Если честно, я столько и не знаю разных нормированных пр-в :)

Например, $l_p$ $(1<p<\infty)$ рефлексивно, сепарабельно, полно.
$l_1$ нерефлексивно, сепарабельно, полно.
$l_{\infty}$ нерефлексивно, несепарабельно, полно.
$\mathbb{Q}$ (с обычной нормой - модулем) рефлексивно, сепарабельно, неполно

осталось еще 4 штуки...

Кстати, а если я рассмотрю, например, $l_1(\mathbb{Q})$, то есть последовательности из рациональных чисел, для которых соотв. ряд абсолютно сходится, то, вероятно, это будет нерефлексивное, сепарабельное НЕПОЛНОЕ пространство, так ведь? То есть сепарабельность и неполнота очевидны, но и нерефлексивность, кажется, сохранится... Тогда задача упрощается и из полных пространств легко будет сделать неполные...

Если так, то по сути осталось придумать рефлексивное несепарабельное пространство, а с полнотой что-нибудь да придумается

[alcoholist]

artempalkin в сообщении #1562432 писал(а):

рефлексивное несепарабельное пространство

можно поискать "несепарабельное гильбертово пространство"

[artempalkin]

alcoholist в сообщении #1562437 писал(а):

можно поискать "несепарабельное гильбертово пространство"

Да, но тут вопрос возникает с рефлексивностью. Из всех трех свойств это свойство самое сложнодоказываемое.

[Nemiroff]

Гильбертово пространство всегда рефлексивно.

[artempalkin]

Nemiroff в сообщении #1562443 писал(а):

Гильбертово пространство всегда рефлексивно.

Да, согласен, не подумал...

[Mikhail_K]

artempalkin
Уточню: а что Вы понимаете под нормированным пространством?
Если понимать это так, как обычно понимается, то $\mathbb Q$ нормированным пространством не является.

[alcoholist]

Mikhail_K в сообщении #1562449 писал(а):

Если понимать это так, как обычно понимается, то $\mathbb Q$ нормированным пространством не является.

Формально да, только над полным полем. Придется ТС многочлены изучать с подходящей нормой.

[artempalkin]

Mikhail_K в сообщении #1562449 писал(а):

Уточню: а что Вы понимаете под нормированным пространством?
Если понимать это так, как обычно понимается, то $\mathbb Q$ нормированным пространством не является.

Ну по идее $\mathbb{Q}$ будет линейным пространством над полем $\mathbb{Q}$, и если ввести норму как обычно ($||x||=|x|$), то все будет хорошо, разве нет?

Так же и $l_1(\mathbb{Q})$ будет ЛП над $\mathbb{Q}$, например... иначе тогда моя теория рушится

-- 12.08.2022, 20:37 --

Да, я так понимаю, что особо ничего не "ломается" в теории нормированных пространств, если рассматривать уж как минимум рациональные числа, но кое-где формально они определяются только для полей действительных либо комплексных чисел (например, в Рудине). Колмогоров так явно не говорит (там есть сноска, что вроде бы можно рассматривать и произвольные поля).

-- 12.08.2022, 20:46 --

Хммм, ну тогда можно...
$\widetilde{L}_2[0,1]$ (непрерывные функции с нормой $L_2[0,1]$) - рефлексивное, сепарабельное, неполное
$\widetilde{L}_1[0,1]$ (непрерывные функции с нормой $L_1[0,1]$) - нерефлексивное, сепарабельное, неполное

-- 12.08.2022, 20:51 --

А вот несепарабельное неполное НП над полным полем... существует ли?
Несепарабельное - значит, неформально, очень-очень много элементов.
Неполное - значит, дырявое. При этом над полным полем...

-- 12.08.2022, 21:10 --

Ох, не знаю...

Рассмотреть множество непрерывных (наверное, ограниченных тоже) функций (назовем его $\Gamma$), скажем единичный шар $l_{\infty}\to \mathbb{R}$.

Пусть норма будет $||f||=\sup f(x)$ по всем $x$ из единичного шара $l_{\infty}$.

Это будет несепарабельное пространство (достаточно рассмотреть функции, которые на последовательностях из нулей и единиц равны нулю, а на одной из них - 1, понятно, непрерывные. Они все будут лежать на единичной сфере $\Gamma$, при этом расстояние между ними можно сделать сколь угодно близким к 1, а количество их будет несчетным).

Почти наверняка это будет неполное пространство (доказать же это, однако, целое дело...)