исследование моноида отображений

[neznaualgebry]

Как описать все различные обратимые справа(слева)(такие элементы, что $f(g(x)) = Id_x$($g$ для $f$ обратный справа, $f$ для $g$ обратный слева)) и все сократимые справа(слева)
($g(f(x)) = h(f(x)) \Rightarrow g(x) = h(x)$ тогда $g(x)$ называется сократимым справа(аналогично слева) элементы моноида $Map(X, X)$?
К чему привели меня мои размышления:
Логично, что в обоих случаях это все автоморфизмы(потому что образуют группу внутри исходного моноида), поэтому все дальнейшие предположения исчерпываются не биективными отображениями. Сократимость справа и слева одно и то же, обратимые справа отображения сюрьективны, а их обратный элемент иньективен(потому что, $g(f(x)) = Id_x \Rightarrow g(x)$ - сюрьекция, пусть $x_1 = x_2 \Rightarrow Id_x(x_1) = f(g(x_1)) = f(g(x_2)) = Id_x(x_2)$, значит $f(x)$ - иньекция), но это лишь необходимое условие. для сократимости слева(справа), если какой-то сокращаемый элемент из множества автоморфизмов, то и помноженный с ним из этого множества( следует из того, что обратный к биективному отображению существует и единственный), а вот для любого другого эндоморфизма это не работает( по-моему, тут дело в том, что сократимый элемент не сюрьекция, но показать это не получается) .

[Lia]

Тема перемещена из форума «Математика (общие вопросы)» в форум «Карантин»
по следующим причинам:

- отсутствует внятная постановка задачи,
- только после того, как это будет сделано, приведите содержательные попытки решения.

Исправьте все Ваши ошибки и сообщите об этом в теме Сообщение в карантине исправлено.
Настоятельно рекомендуется ознакомиться с темами Что такое карантин и что нужно делать, чтобы там оказаться и Правила научного форума.

[Lia]

Тема перемещена из форума «Карантин» в форум «Помогите решить / разобраться (М)»

И пожалуйста, размещайте свои темы в ПРР сразу, Математика общий раздел для других вопросов.
Все учебные (и немного больше) - сюда.

[alcoholist]

neznaualgebry в сообщении #1562416 писал(а):

обратимые справа отображения сюрьективны, а их обратный элемент

лучше говорить полностью: правый обратный

neznaualgebry в сообщении #1562416 писал(а):

пусть $x_1 = x_2 \Rightarrow Id_x(x_1) = f(g(x_1)) = f(g(x_2)) = Id_x(x_2)$, значит

ничего не значит! Ваша импликация просто тривиальное равенство $Id_X(x) = f(g(x)) = Id_X(x_2)$ для взаимно-обратных сюрьекции $f$ и инъекции $g$. Вероятно, вы имели ввиду

$$f(x_1) = f(x_2) \Rightarrow Id_x(x_1) = g(f(x_1)) = g(f(x_2)) = Id_x(x_2) \Rightarrow x_1=x_2,$$

поэтому $f$ инъективно.

neznaualgebry в сообщении #1562416 писал(а):

дело в том, что сократимый элемент не сюрьекция

Сократимый с какой стороны элемент? Что такое односторонняя обратимость -- понятно. А что такое "сократимость"?

-- Чт авг 11, 2022 09:59:30 --

neznaualgebry в сообщении #1562416 писал(а):

($g(f(x)) = h(f(x)) \Rightarrow g(x) = h(x)$ тогда $g(x)$ называется сократимым справа(аналогично слева) элементы моноида $Map(X, X)$

это определение плохое, кванторов нету

-- Чт авг 11, 2022 10:01:34 --

neznaualgebry в сообщении #1562416 писал(а):

обратимые справа отображения сюрьективны

нетрудно видеть, что верно и обратное (правда, нужна аксиома выбора)

[neznaualgebry]

alcoholist в сообщении #1562429 писал(а):

neznaualgebry в сообщении #1562416 писал(а):

обратимые справа отображения сюрьективны, а их обратный элемент

лучше говорить полностью: правый обратный

neznaualgebry в сообщении #1562416 писал(а):

пусть $x_1 = x_2 \Rightarrow Id_x(x_1) = f(g(x_1)) = f(g(x_2)) = Id_x(x_2)$, значит

ничего не значит! Ваша импликация просто тривиальное равенство $Id_X(x) = f(g(x)) = Id_X(x_2)$ для взаимно-обратных сюрьекции $f$ и инъекции $g$. Вероятно, вы имели ввиду

$$f(x_1) = f(x_2) \Rightarrow Id_x(x_1) = g(f(x_1)) = g(f(x_2)) = Id_x(x_2) \Rightarrow x_1=x_2,$$

поэтому $f$ инъективно.

neznaualgebry в сообщении #1562416 писал(а):

дело в том, что сократимый элемент не сюрьекция

Сократимый с какой стороны элемент? Что такое односторонняя обратимость -- понятно. А что такое "сократимость"?

-- Чт авг 11, 2022 09:59:30 --

neznaualgebry в сообщении #1562416 писал(а):

($g(f(x)) = h(f(x)) \Rightarrow g(x) = h(x)$ тогда $g(x)$ называется сократимым справа(аналогично слева) элементы моноида $Map(X, X)$

это определение плохое, кванторов нету

-- Чт авг 11, 2022 10:01:34 --

neznaualgebry в сообщении #1562416 писал(а):

обратимые справа отображения сюрьективны

нетрудно видеть, что верно и обратное (правда, нужна аксиома выбора)

Да, сократимый справа определяется как $\forall g, f \in Map(x,x) $ верно, что $gh = fh \Rightarrow g = f$.


Если $f$ - иньекция, то $\exists$ сюрьективное $g \in Map(x,x)$, что $g:2^A-{A} \to A$ и $g(X) \in A-X$ и мы можем подобрать $g$ так, что отображение станет $Id_x$? Я мог бы показать, что все выше верно разве что на конечных множествах, но на конечных сюрьекция сразу становится биекцией, и то что я написал выше... похоже на бред... не совсем понимаю как использовать тут аксиому выбора или не знаю следствия из нее.

[alcoholist]

neznaualgebry в сообщении #1562539 писал(а):

Да, сократимый справа определяется как $\forall g, f \in Map(x,x) $ верно, что $gh = fh \Rightarrow g = f$.

Докажите теперь, что $h$ -- сюрьекция (то есть сюрьективность и сократимость справа -- это одно и то же)

-- Пт авг 12, 2022 14:53:31 --

neznaualgebry в сообщении #1562539 писал(а):

Если $f$ - иньекция, то $\exists$ сюрьективное $g \in Map(x,x)$, что $g:2^A-{A} \to A$ и $g(X) \in A-X$ и мы можем подобрать $g$ так, что отображение станет $Id_x$?

запись совершенно непонятна, что такое $A$? Чем отличаются $x$ и $X$?

-- Пт авг 12, 2022 14:54:37 --

И не надо цитировать сообщение целиком, ведь можно частями

-- Пт авг 12, 2022 14:57:20 --

Под

alcoholist в сообщении #1562429 писал(а):

нетрудно видеть, что верно и обратное (правда, нужна аксиома выбора)

я имел ввиду, что для любого сюрьективного $g$ можно указать инъективное $h_g$, для которого $g\circ h_g=\mathrm{Id}_X$

[Lia]

neznaualgebry
Замечание за оверквотинг. post1562539.html#p1562539

[neznaualgebry]

alcoholist в сообщении #1562543 писал(а):

Докажите теперь, что $h$ -- сюрьекция (то есть сюрьективность и сократимость справа -- это одно и то же)

Для правого обратного
Если $h$ - не сюрьекция, то $\exists x_1 \in X$ такой, что $\forall x \in X$ $h(x) \ne x_1$ и пусть $f(x_1) \ne g(x_1)$ для каких-то $f,g \in Map(X,X)$. Если $h$ - сократимый справа, то $f(h(x)) = g(h(x))$ влечет $f(x) = g(x)$, в частности $f(x_1) = g(x_1)$ , что не верно. Пусть теперь $h$ - сюрьекция, тогда можно отождествить( в смысле множеств ) образ $h(x)$ и $X \Rightarrow$ если $f(h(x)) = g(h(x))$, то $f(x) = g(x)$(Все отображения действуют из $X$ в $X$).
А для левого обратного это будет иньекция, я полагаю...
Пусть h - левый обратный и он не иньекция, тогда $\exists x_1, x_2 \in X$, что $h(x_1) = h(x_2)$, но $x_1 \ne x_2$, рассмотрим такие отображения, что $f(x) = g(x) \forall x \in X$, кроме $x_3$ и $f(x_3) = x_1$, $g(x_3) = x_2$, тогда $h \circ f = h\circ g$, но $g \ne f$. Пусть теперь $h$ - иньекция и пусть $h(g(x)) = h(f(x))$, то $g = f$ (потому что h иньекция)

alcoholist в сообщении #1562543 писал(а):

neznaualgebry в сообщении #1562539 писал(а):

Если $f$ - иньекция, то $\exists$ сюрьективное $g \in Map(x,x)$, что $g:2^A-{A} \to A$ и $g(X) \in A-X$ и мы можем подобрать $g$ так, что отображение станет $Id_x$?

запись совершенно непонятна, что такое $A$? Чем отличаются $x$ и $X$?

$\exists$ сюрьективное $g \in Map(X,X)$ такое, что $g:2^X - X \to X$ и (пусть $A$ собственное подмножество $X$) $g(A) \subseteq X-A$ (аксиома выбора), где $2^X$ - множество всех подмножеств.

alcoholist в сообщении #1562543 писал(а):

я имел ввиду, что для любого сюрьективного $g$ можно указать инъективное $h_g$, для которого $g\circ h_g=\mathrm{Id}_X$

попробую по сюрьекции $g$ найти иньекцию $f$. пусть $g(x_i^{-1}) = x_i$($x_i^{-1}$ - прообраз $x_i$) назовем $x_{i,1}$ - элемент из прообраза $x_i$, тогда $f(x_i) = x_{i,1}$ $\forall i $
по иньекции $f$ сюрьекция $g$ строится аналогично, но, по-моему, я написал бред потому что в несчетном множестве я их перебрать уже не смогу

[alcoholist]

neznaualgebry в сообщении #1562550 писал(а):

попробую по сюрьекции $g$ найти иньекцию $f$. пусть $g(x_i^{-1}) = x_i$($x_i^{-1}$ - прообраз $x_i$) назовем $x_{i,1}$ - элемент из прообраза $x_i$, тогда $f(x_i) = x_{i,1}$ $\forall i $

Действительно, бред. "Кто на ком стоял?"(с)

-- Пт авг 12, 2022 17:38:04 --

neznaualgebry в сообщении #1562550 писал(а):

$\exists$ сюрьективное $g \in Map(X,X)$ такое, что

для чего вам какое-то сюрьективное отображение?

-- Пт авг 12, 2022 17:40:05 --

neznaualgebry в сообщении #1562550 писал(а):

попробую по сюрьекции $g$ найти иньекцию $f$

вам просто надо определить $f(x)$ для любого $x\in X$

[neznaualgebry]

Цитата:

для чего вам какое-то сюрьективное отображение?

просто написал определение аксиомы выбора, но где ее использовать толком не придумал.

Цитата:

вам просто надо определить $f(x)$ для любого $x\in X$

Если $g(x_1) = x_2$, то $f(x_2) = x_1$, где $x_1$ - элемент в прообразе $x_2^{-1}$ ( относительно отображения $g$) это же вполне определяет отображение, причем иньективное, если условиться брать из каждого прообраза один элемент.

[Lia]

Есть такая волшебная кнопка "Вставка". Предназначена для цитирования выделенного (мышью) фрагмента сообщения. Кнопку надо нажимать в цитируемом сообщении.