Спасибо большое,
alcoholist и
svv за ответы!!!
Тут просто свести к Лагранжу, ИМХО, очень не правильно, так как сходимость такой минимизации будет совсем не предсказуемой, лагранжевы множители могут быть очень разных порядков, как друг с другом, так и со значением самого решения, и все будет идти юзом и плохо сходиться. Более того, у задачи ИМХО, много локальных минимумов, и имеется вероятность сесть в какой-то локальный минимум и не оценить есть ли другой, более низкий по значению минимум.
Схлопнуть в один вектор
и
, как предлагает
svv, ИМХО, тоже не факт, что хорошо, так как и условие их ортогональности портит картину, и найденный минимум не факт, что даст равнозначные нормы
и
.
Пока была идея разложить
,
, так, что
и
- диагональные (на диагонали соответствующие собственные значения), а
и
- матрицы собственных векторов, тогда исходную задачу можно переписать в виде
где
но пока это не сильно добавляет оптимизма.
Для задачи
исходная задача сводится к задаче на собственные значения для матрицы
(я уверен в этом факте, но не уверен в правильности получения матрицы, поэтому ее не привожу здесь).
Для задачи
есть подозрение, что будет все так же, только размер матрицы, будет больше трех, но строгого доказательства у меня пока нет.
На данный момент я попробовал пооптимизировать задачу с
и гарантированно нахожу три локальных минимума (а сколько реально их там - оценить сложно), и лагранжева минимизация в лоб сходится просто ужасно. Лучше всего сходимость наблюдается, если в качестве варьируемых параметров взять все координаты из
и
и перед вычислением функции на их основе их нормировать и друг к другу ортогонализировать.
Еще для случая
видится вариант, когда
фиксируем, и решаем по
, в этом случае задача будет одномерной, но как-то формулы получаются многоэтажные, что оценить сколько для фиксированного значения
будет минимумов не получается. Если бы там был бы всегда один минимум и аналитическое решение, то по крайней мере, можно было бы его туда подставить, и попытаться все переформулировать для
, с надеждой на то, что получится полиномиальная задача на собственные значения, но, ИМХО, должно быть решение красивей.