Анти-коммутатор для поля Дирака и принцип неопределенности

[Pulseofmalstrem]

Добрый день. Меня недавно посетили сомнения по поводу физического смысла анти-коммутационных соотношений, которые применяются при квантовании поля Дирака. Чтобы изложить их как можно понятнее, я сначала вкратце опишу мои мысли по поводу квантования бозонных полей, а потом покажу, как эта логика нарушается на полях фермионов.

При квантовании бозонного поля, например, скалярного поля Клейна-Гордона $\phi$ с лагранжианом

$ L = \frac{1}{2}\dot{\phi}^2-\frac{1}{2}(\nabla \phi)^2-\frac{1}{2}m^2\phi^2$,

для которого каноническим импульсом является $\phi = \dot{\phi}$, мы накладываем на операторы поля стандартные анти-коммутационные соотношения

$[\phi(x), \pi(y)] = i\delta(x-y)$,

что кажется очень логичным. Действительно, поле - это механическая система с бесконечным числом степеней свободы, где значение поля в каждой точке пространства - это степень свободы. В таком случае, получается, что $\phi$ и $\pi$ имеют смысл координаты и импульса для каждой из этих степеней свободы, которые индексируются точками пространства. Переходя от классической теории к квантовой разумно предполагать, что соотношение неопределенности координата-импульс для каждой степени свободы нашей системы будет таким же как в квантовой механике отдельной частицы, а к этому соотношению нас приводит именно коммутатор между координатой $\phi(x)$ и соответствующим ей импульсом $\pi(x)$. И подобная логика легко оправдывает выбор именно такого коммутационного соотношения, которое приведено выше.

Но вот беда. Когда приходит черёд квантования фермионного поля, например, поля Дирака с Лагранжианом

$L = \bar{\psi}(i \gamma \cdot \partial - m)\psi$,

для которого каноническим импульсом, сопряженным к полю $psi$ выступает комбинация $\pi = i \psi^{\dagger}$, используются анти-коммутационные соотношения

$\left\lbrace\psi(x)_a, \psi^{\dagger}_b(y) \right\rbrace= \delta(x-y)\delta_a_b$,

и это ставит меня в тупик. Разве перейдя от коммутатора к анти-коммутатору - мы не нарушили фундаментальные для теории соотношения неопределенности между координатой и импульсом? Ведь поле Дирака - это всё та же система с бесчисленным степеней свободы $\psi(x)$, сопряженными к которым импульсами являются $i\psi^{\dagger}(x)$, так почему же здесь нет канонического коммутатора между координатой и импульсом? Получается какая-то ерунда. В чем смысл? Почему мы просто натаскиваем на теорию поля анти-коммутатор, который получается для операторов рождения/уничтожения для фермионных состояний, который получается для анти-симметричных волновых функций? Ведь поле - это единая система, для неё должны выполняться все аксиомы квантовой механики, но почему этого не происходит? Простите за сумбурное изложение.

[Cos(x-pi/2)]

Специалисты по КТП ответили бы чётче; а на пальцах можно, наверное, вот как пояснить.

Pulseofmalstrem в сообщении #1561704 писал(а):

Ведь поле Дирака - это всё та же система с бесчисленным степеней свободы $\psi(x)$, <...>

В том и дело, что "та же, да не та же". Есть важное для вашего вопроса различие между бозонным полем $\phi$ и фeрмионным полем $\psi.$

1. Степени свободы бозонного поля в классическом пределе описываются обычными числовыми величинами - можно, например, как Вы и сказали, в каждой точке пространства $\mathbf{x}$ считать $\phi(t)$ числовым значением некоей "напряжённости поля". (В случае фермионного поля это будет не так; см. ниже).

Чем сильнее поле возбуждено, тем больше могут быть значения $\phi(t)$. Другой способ указать степени свободы того же поля - разложить $\phi(\mathbf{x},t)$ на моды, например, на плоские волны с волновыми векторами $\mathbf{k},$ индексирующими степени свободы. Чем сильнее поле возбуждено, тем больших значений могут достигать амплитуды колебаний мод. Эти колебания описываются числовыми переменными $q_{\mathbf{k}}(t)};$ с точностью до нормировочного множителя:

$q_{\mathbf{k}}(t)=a_{\mathbf{k}}e^{-i\omega_{\mathbf{k}}t}+\text{компл. сопр.}$

Видно, что $q_{\mathbf{k}}(t)$ - гармонический осциллятор. В обычной квантовой механике $q_{\mathbf{k}}(t)$ и $p_{\mathbf{k}}=\dot q_{\mathbf{k}}$ заменяются операторами с коммутатором

$\hat q_{\mathbf{k}} \hat p_{\mathbf{k}}-\hat p_{\mathbf{k}}\hat q_{\mathbf{k}} = i\hbar$

В итоге, как известно, энергия возбуждения квантового осциллятора даётся формулой $\hbar \omega_{\mathbf{k}}\,n_{\mathbf{k}},$ где $n_{\mathbf{k}}=0,1,2,...$

В квантовой теории поля эти числа $n_{\mathbf{k}}=0,1,2,...$ интерпретируются как числа квантов поля, т.е. числа частиц с энергиями $\hbar \omega_{\mathbf{k}}$ и импульсами $\hbar \mathbf{k}}.$ Таким образом, тому факту, что у классического поля $\phi$ амплитуда каждой моды описывается обычным числом и может быть произвольно большой, в квантовой теории соответствует бозе-статистика квантов поля: их число в каждой моде может быть любым.

Если бы для поля $\psi,$ с помощью которого мы желаем описывать фермионы, всё было бы точно так же, то и результат получился бы такой же - оно оказалось бы не фермионным, а бозонным.

2. В случае с фермионами нам нужна квантовая теория, которая автоматически допускает только $n_{\mathbf{k}}=0,1.$ Оказывается, так и выйдет, если коммутатор амплитуд бозонных мод, в квантовой теории ставших вместе с $q_{\mathbf{k}}$ операторами,

$\hat a_{\mathbf{k}} \hat a^+_{\mathbf{k}}-\hat a^+_{\mathbf{k}}\hat a_{\mathbf{k}} = 1,$

заменить антикоммутатором операторов:

$\hat a_{\mathbf{k}} \hat a^+_{\mathbf{k}}+\hat a^+_{\mathbf{k}}\hat a_{\mathbf{k}} = 1,$

В квантовой механике одной степени свободы такие антикоммутирующие операторы описывают "ферми-осциллятор" - его энергетический спектр состоит всего из двух уровней - основного и возбуждённого с энергией $\hbar \omega_{\mathbf{k}}.$

Переход к классическому пределу ($\hbar \to 0)$ сводится к пренебрежению единичкой в правой части указанных соотношений и снятию операторных шляпок. В случае с коммутатором это даёт обычную перестановочность сомножителей, так что амплитуды мод классического поля $\phi,$ а с ними и само $\phi,$ - обычные числовые величины. В случае же с антикоммутатором выявляется антикоммутативность амплитуд мод; они, а с ними и само поле $\psi,$ оказываются не обычными, а грассмановыми числами.

Т.е. классического поля $\psi$ не существует в обычном смысле. Соответственно и "аксиомы механик" (классической и квантовой) в этом случае следует подразумевать не обычные, а для систем со степенями свободы, которые описываются грассмановыми переменными.

3. Антикоммутатор не "натаскивается" на теорию поля Дирака с нарушением обычного соотношения неопределенности между координатой и импульсом. Ведь нет оснований ожидать привычных свойств у координат и импульсов в случае систем, не имеющих в классическом пределе обычного числового описания. Надо заботиться, чтобы выполнялись положения теории, общие для всех систем. В том числе такое: энергия возбуждения поля должна быть положительной. Оказывается, в случае спинорного поля для этого необходимы именно антикоммутаторы вместо коммутаторов (а для скалярного поля - коммутаторы).Это хорошее обоснование антикоммутаторам, притом с бонусом: выявляется связь спина со статистикой.

[Gravitino]

Классическая теория фермионного поля это просто формальность, которая нужна чтобы сформулировать квантовую теорию поля (которая есть реальность).
Потому что для квантового фермионного поля не существует классического предела, его ввести не получается в частности из-за принципа запрета Паули.

Обычный переход от скобок Пуассона к коммутаторам при квантовании (то что дает постулирование коммутатора координаты с импульсом) обосновывается соответствием между классической и квантовой теорией. Поскольку классических фермионных полей нет (нет никакого соответствия), то тут этот аргумент и ни к чему.

А принцип неопределенности - это про то что коммутирующие можно измерить одновременно, а некоммутирующие нельзя, он остается в силе всегда. Полный набор наблюдаемых просто другой.

[Gravitino]

Уточню - реальные наблюдаемые - это тензоры из действительных чисел. И физически осмысленно смотреть на их коммутационные соотношения.
Для поля Дирака это, например, ток. Можно убедиться что с его коммутационными соотношениями все как обычно, они соблюдают причинность.

А фермионы сами по себе как конфигурация не наблюдаемые.