Функциональный определитель и почему зануляется выражение?

[Ascold]

Фихтенгольц(Основы мат. анализа, 2 том) https://pdf.11klasov.net/7747-osnovy-ma ... lc-gm.html (здесь раздел [323], см. стр. 206). Не понимаю, как из (26) получается (26*) с учётом равенства нулю функционального определителя. Я рассуждаю так: переменными являются $\partial\varphi _1/\partial x_3$ и $\partial\varphi _2/\partial x_3$, всего 2 штуки. Как сюда вообще прикрутить нулёвость определителя 3*3? Вот если бы наоборот - была бы задана система линейных однородных уравнений 3*3, то для существования её нетривиальных решений занулили бы детерминант, но здесь явно иное. Что имеет ввиду Фихтенгольц?

[мат-ламер]

Попробую задачу описать в других обозначениях, если это вам поможет. Пусть у нас есть некие трёхмерные вектора $\nabla f_i$ и $c_i$ , $i=1,2,3$ . Что это за вектора, попробуйте догадаться сами. И пусть у нас выполняются равенства $(\nabla f_i,c_i)=0$ для $i=1,2$ (здесь круглыми скобками обозначено скалярное произведение). Нам нужно доказать такое же равенство для $i=3$ . Векторы $\nabla f_i$, $i=1,2,3$ линейно зависимы. Также зависимы и векторы $c_i$, $i=1,2,3$ . Это следует из того, что равны нулю определители, которые составлены из их координат. Значит $\nabla f_3$ линейно выражается через
$\nabla f_1$ и $\nabla f_2$ . То же самое относительно векторов $c_i$ . Осталось подставить эти линейные выражения в доказываемое равенство.

[svv]

Фихтенгольц тут применил теорему о базисном миноре, но слов этих не написал.

Базисный минор матрицы — любой ненулевой минор, порядок которого равен рангу матрицы. Их может быть много, но хотя бы один обязательно существует. По предположению (20), у нас это $\begin{vmatrix}f_{1,1}&f_{1,2}\\f_{2,1}&f_{2,2}\end{vmatrix}$.
Строки, в которых расположен базисный минор, называют базисными. У нас это строки $1$ и $2$.

Теорема (о базисном миноре). Базисные строки линейно независимы. Любая строка матрицы является их линейной комбинацией.

В соответствии с этой теоремой, строка $3$ является линейной комбинацией строк $1$ и $2$, то есть существуют такие числа $c_1,c_2$, что $f_{3,k}=c_1 f_{1,k}+c_2 f_{2,k},\;k=1,2,3$.
Тогда, складывая равенства (26), умноженные соответственно на $c_1$ и $c_2$, получим (26*).

[Ascold]

Благодарю, теперь получилось.

[мат-ламер]

мат-ламер в сообщении #1561706 писал(а):

Осталось подставить эти линейные выражения в доказываемое равенство.

Нет. Вроде ерунду написал. Не гарантировано, что, например, $(\nabla f_1,c_2)=0$ .

На самом деле всё оказалось проще. При ближайшем рассмотрении оказалось, что в моём посту все $c_i$ равны между собой. Просто невнимательно глянул в Фихтенгольца.