Я имел в виду, что при подсчёте всех хороших треугольников мы пользуемся некоторым методом. Для теоретических расчётов часто проще организовать сквозной просчёт, при котором могут быть повторения.
Например. Рассмотрим семиугольник и пронумеруем его вершины по часовой стрелке начиная с одной, выбранной раз и навсегда. Треугольники будут изображаться тройками вида
. По вашему желанию треугольники, отличающиеся порядком вершин, считаются эквивалентными. При нашем методе подсчёта мы учитываем озвученный треугольник шесть раз: два раза считая
первой вершиной, два раза второй и два раза третьей. То есть занося в счёт треугольники
.
Разумеется, при определении числа хороших треугольников все эти дела скрыты под простым умножением на количество способов разместить первую вершину на количество способов разместить вторую при уже размещённой третьей и т.д. Но мы должны быть уверены в том, что все хорошие треугольники учтены и при этом по одинаковому количеству раз. Можно подсчитывать, например, упорядоченные хорошие треугольники. Тогда формулы определения количества способов могут усложниться, мы получим проигрыш в наглядности, а кому это нужно?
А вот кому. Предположим, вы хотите организовать компьютерный перебор треугольников в выпуклом стоугольнике, заданном координатами вершин на плоскости. И для каждого треугольника посчитать его площадь, а потом найти среднюю. Площадь треугольника не зависит от порядка вершин, и наш метод перебора задаст компьютеру лишнюю работу. Только перейдя к упорядоченным тройкам, мы сократим время расчётов в шесть раз. Я уж не говорю о более тонких методах оптимизации. А вот если надо считать не площадь, а, скажем, нечто, зависящее от порядка вершин, то тут уже придётся перебирать всё.
Ах, да. Вот пример с подсчётом треугольников с соседними вершинами aka треугольниками, у которых есть стороны, совпадающие со стороной многоугольника. Тут вы можете зафиксировать первую вершину, вторую выбрать сразу за ней, а третью как получится, за исключением одного места. Прогнать первую вершину по кругу. Убедитесь, что все хорошие треугольники посчитаны и ровно по одному разу. И на ничего делить не нужно. Хотя при вычитании из формулы всех треугольников надо домножить ЧиЗ на 6.
У меня к вам просьба. Не цитируйте длинные сообщения целиком. Ибо длинные цитаты затрудняют чтение и отягощают работу индексирующих ботов. И лишнее место занимают на физических устройствах. Впрочем, это суждение профана:(