Наибольшие площади

[Apinkman]

Нашел интересную задачу: На координатной плоскости задать множество точек наибольшей площади, удовлетворяющее условию: для любых двух точек множества площадь треугольника с вершинами в начале координат и в этой точке не превосходит $\alpha$.
В процессе решения пришел к уравнению $x_1 y_2 - x_2 y_1 \leqslant \alpha$ и никак не могу придумать его решение.
Выше в сборнике была такая задача: Найдите геометрическое место точек, удовлетворяющее условию для любых двух точек множества с координатами $x_1 , y_1 $ и $x_2 , y_2$ выполняется равенство $\left\lvert x_1 y_2 - x_2 y_1\right\rvert = 1$

[alcoholist]

Apinkman в сообщении #1561521 писал(а):

и в этой точке не превосходит $\alpha$

наверное, "и в этих точках"

Apinkman в сообщении #1561521 писал(а):

пришел к уравнению

а по-простому? Площадь треугольника равна половине произведения основания на высоту.

[Apinkman]

alcoholist в сообщении #1561557 писал(а):

а по-простому? Площадь треугольника равна половине произведения основания на высоту.

Все равно же придется выражать длины высоты и основания через координаты точек, снова получу какое-то уравнение, в котором будут присутствовать иксы и игреки

[alcoholist]

Apinkman в сообщении #1561566 писал(а):

Все равно же придется выражать

Возьмите точку $A$ (не начало координат). Каково геометрическое множество точек $M$, для которых площадь треугольника $\Delta OAM$ не превосходит $\alpha$? Ничего выражать не надо, так нарисуйте.

[Apinkman]

alcoholist в сообщении #1561568 писал(а):

Apinkman в сообщении #1561566 писал(а):

Все равно же придется выражать

Возьмите точку $A$ (не начало координат). Каково геометрическое множество точек $M$, для которых площадь треугольника $\Delta OAM$ не превосходит $\alpha$? Ничего выражать не надо, так нарисуйте.

Если я правильно понял, то это будет полоса шириной $\frac{4\alpha}{AO}$, у которой прямая AO является серединой полосы

[alcoholist]

Apinkman в сообщении #1561573 писал(а):

это будет полоса

ну так все точки искомого множества должны лежать друг у друга в полосах

[Apinkman]

Нет, все равно не понял, как можно таким образом найти необходимое множество точек. Думал именно с помощью уравнения найти его (т.к. предыдущая задача намекает на это).

[ET]

А, поправьте меня, если я неправ, но, как мне кажется, что если некоторая (не буду говорить какая) геометрическая фигура удовлетворяет этому условию, то для любой константы $k>0$, фигура, полученная из этой после преобразования

$x=kx$

$y=\frac{y}k$

тоже будет удовлетворять этому условию и иметь ту же площадь (в условии просят найти "наибольшей площади")
Так что, что имел ввиду составитель - мне непонятно. Разве что доказать , чему равен максимум этой площади?

[ET]

Вторая, которая "предыдущая" задача вообще странная (мало что с тем же свойством, так еще и хуже). Если вы собирались использовать ответ на нее, то какой у вас получился ответ?

[Apinkman]

ET в сообщении #1561605 писал(а):

поправьте меня, если я неправ

Кажется, вы правы. Да, странно как-то получается.

ET в сообщении #1561608 писал(а):

Если вы собирались использовать ответ на нее, то какой у вас получился ответ?

У меня не получилось решить эту задачу, иначе бы не было проблем с решением задачи про наибольшую площадь. Но просто интересно, есть ли какой-то подход к решению подобных уравнений?

[ET]

Apinkman в сообщении #1561632 писал(а):

ET в сообщении #1561608 писал(а):

Если вы собирались использовать ответ на нее, то какой у вас получился ответ?

У меня не получилось решить эту задачу, иначе бы не было проблем с решением задачи про наибольшую площадь. Но просто интересно, есть ли какой-то подход к решению подобных уравнений?

Там решение - 3 точки (или меньше) Причем 3 таких или 3 таких или 3 такихз или таких...

Вообщше ,странно, когда в формулировке ГМТ дают зависимость не на одну точку, а на пару из нужного множества - тогда все странно получается
Представьте вас бы спросили про ГМТ точек таких, чтобы любые 2 из них находились на расстоянии 1 друг от друга?

[Aritaborian]

ET в сообщении #1561637 писал(а):

Представьте вас бы спросили про ГМТ точек таких, чтобы любые 2 из них находились на расстоянии 1 друг от друга?

Ну, ответ вроде бы есть.
UPD. Впрочем, скорее нет.

[waxtep]

ET в сообщении #1561637 писал(а):

Представьте вас бы спросили про ГМТ точек таких, чтобы любые 2 из них находились на расстоянии 1 друг от друга?

Вершины равностороннего треугольника?

[alcoholist]

waxtep в сообщении #1561652 писал(а):

Вершины равностороннего треугольника?

на плоскости -- да

-- Пн авг 01, 2022 23:47:21 --

Apinkman
а это не круг радиуса $\sqrt{2\alpha}$ с центром в начале координат?

[Aritaborian]

waxtep в сообщении #1561652 писал(а):

Вершины равностороннего треугольника?

alcoholist в сообщении #1561653 писал(а):

на плоскости -- да

Окей. Какого треугольника? Нарисуйте его на плоскости $Oxy$. В условии ловушка.