Период функции

[paranoidandroid]

функция $f(x)$ называется периодической с периодом $T>0$ если для каждой точки $x$ из её области определения точки $x+T$ и $x-T$ также принадлежат её области определения, и для них выполняется равенство $f(x)=f(x+T)=f(x-T)$. Найдите период функции $h(x)=f(kx+b)$, если период функции $f(x)$ равен $T$. Теперь нам нужно найти такое число $T_1$, для которого выполняется равенство $h(x+T_1)=h(x)$.

Я заранее знаю, что период $h(x)$ будет $T_{1}= \frac {T}{|k|}$, Но не могу доказать.

$h(x+T_1)=f(kx+b+T)$..
$kx+b+T=y \to x= \frac {y-b-T}{k} \to f(y)=f(y-T)$
$h(x+T_1)=f(kx+b+T)=f(kx+b)=h(x)$

[nnosipov]

Немного помогу: $h(x+T_1)=f(kx+b+T)=$

[Lia]

Тема перемещена из форума «Помогите решить / разобраться (М)» в форум «Карантин»
по следующим причинам:


- отсутствуют собственные содержательные попытки решения задач(и).

Исправьте все Ваши ошибки и сообщите об этом в теме Сообщение в карантине исправлено.
Настоятельно рекомендуется ознакомиться с темами Что такое карантин и что нужно делать, чтобы там оказаться и Правила научного форума.

[Lia]

paranoidandroid
Даже интересно, как Вы самому себе оправдываете каждое написанное равенство. Видимо, никак, лишь бы было.
Ну ок.

[Lia]

Тема перемещена из форума «Карантин» в форум «Помогите решить / разобраться (М)»

[svv]

Ладно, давайте так. Пусть $k\neq 0$.

paranoidandroid в сообщении #1561475 писал(а):

Найдите период функции $h(x)=f(kx+b)$, если период функции $f(x)$ равен $T$.

Имеем:
$h(x_1)=f(y_1)$, где $y_1=kx_1+b$
$h(x_2)=f(y_2)$, где $y_2=kx_2+b$
Чему равно $x_2-x_1$, если $y_2-y_1=T$ ?

[paranoidandroid]

$x_2 - x_1 = \frac {T}{k}$. но.. почему $y_2 - y_1=T$?

[Someone]

paranoidandroid в сообщении #1561685 писал(а):

$x_2 - x_1 = \frac {T}{k}$. но.. почему $y_2 - y_1=T$?

А подставить и посчитать — не судьба?

[svv]

Взяли два аргумента $y_1$ и $y_2$ функции $f$, отстоящие на период. Смотрим, на сколько отстоят соответствующие аргументы функции $h$.
Соответствие аргументов функций $h(x)$ и $f(y)$ задаётся формулой $x\mapsto y=kx+b$, но мы его используем в обратную сторону, что возможно при $k\neq 0$.

[paranoidandroid]

(Оффтоп)

Теперь все ясно ^.^ большое спасибо вам svv

[svv]

paranoidandroid
Ещё нюанс: если $k<0$, у Вас получится $x_2-x_1=\frac{T}{k}<0$. Но период функции $h$ по определению положителен и в данном случае равен $x_1-x_2=\frac{T}{|k|}$. Последнее выражение справедливо и при $k>0$, его и следует приводить в ответе.