Приближение факториалов

[Cronopio]

Хочется что-то вроде:
$\frac{N!}{(N-k!)} = N^k(1+O(...))$
Интересуют, конечно, "..." при $k=k(N)\approx \log(N)$ (ну или даже лучше было бы, найти при какой зависимости $k$ от $N$ можно получить вразумительное приближение)

Вроде, получилось
$\frac{N!}{(N-k!)} = N^k(1+O(\frac{k^2}{N}))$
Правдоподобно? А может это уже и посчитано где-нибудь? А то мне много подобного понадобится...

Спасибо!

[Руст]

Ваша последняя формула верна, что при малых k дает хорошую аппроксимацию.

[zkutch]

Для факториала, наверное, трудно назвать что-либо лучше чем классическая формула Стирлинга

[Руст]

Здесь речь идёт о приближении при малых k, поэтому формула Стирлинга не работает.
Следующее приближение имеет вид:
$N^k\exp(-\frac{k(k-1)}{2N})(1+O(\frac{k^3}{N^2}))$.

[Cronopio]

Руст
Спасибо!
Как раз потому, что k маленькое, формула Стирлинга и работает, ибо тогда оба факториала большие.

А как вы без Стирлирга разобрались? Логарифмированием и чем-то еще потом примудрым? (этот же вопрос, фактически, как второй член получися? Я считала Стирлингом)

[Руст]

Дело в том, что вы считаете не сами факториалы, а выражение:

$$N(N-1)...(N-k+1)=N^k(1-\frac 1N)...(1-\frac{k-1}{N})=$$

$$=N^k\exp(\sum\limits_{i=1}^{k-1} \ln(1-\frac iN))=N^k\exp(-\frac{k(k-1)}{2N})\exp(\sum_{i=1}^{k-1} (\frac iN +\ln(1-\frac iN)))$$

.
Последний член дает $1+O(...)$.
В принципе можно получить вторые и третьи члены и из улучшенной формулы Стирлинга:

$$n! =\sqrt{2\pi n}(\frac ne)^n \exp(\sum\limits_{k=1}^m \frac{B_{2k}}{2k(2k-1)n^{2k-1}})(1+O(n^{2m+1}).$$

Однако это сложнее, чем суммирование разложений логарифма.

[Cronopio]

Спасибо!
Я не догадалась так посчитать, а Стирлингом и вправду хуже гораздо, тем более, что потом все равно приходится нечто подобное делать.