Как посчитать вероятность?

[Verbery]

Здравствуйте! Есть такая задача:

В Москве и Питере проводят совместную лотерею. В Москве выпустили 700 билетов, в Питере — 300. Лишь один из них выигрышный. Вероятность того, что билет из Питера выиграет в 2 раза больше, чем в Москве. Вы купили билет в Минске (вероятность встретить билет из конкретного города равна доле выпущенных билетов в этом города):
1) Какова вероятность, что ваш билет выигрышный?
2) Вы нашли список из 668 проигрышных билетов (вам точно известно, что он настоящий) и
вашего билета в нём нет. Какая в этом случае вероятность того, что ваш билет выигрышный?
3) Вы узнали, что в найденом списке все билеты могли быть только московскими. Какова теперь вероятность вашей победы?
----------
1) Решил так: $P = \frac{700}{1000} \frac{1}{3} + \frac{300}{1000} \frac{2}{3} = \frac{13}{30}$
2) Вот тут у меня начались проблемы. Я сначала думал, что ответ должен быть: $\frac{1}{332}$, потом я подумал, что тут намекают на условную вероятность, но неочевидно как тут применить условную вероятность, как у нас пересекаются исходы из п.1 и п.2? Может кто натолкнуть в верном направлении?

[kotenok gav]

Verbery в сообщении #1561201 писал(а):

Вот тут у меня начались проблемы. Я сначала думал, что ответ должен быть: $\frac{1}{332}$, потом я подумал, что тут намекают на условную вероятность, но неочевидно как тут применить условную вероятность, как у нас пересекаются исходы из п.1 и п.2? Может кто натолкнуть в верном направлении?

Парадокс Монти-Холла. Так что да, применяйте Байеса.
А - ваш билет выигрышен, B - все билеты из списка 668 проигрышны.

[мат-ламер]

Перепроверьте вычисления по первому пункту. Интуитивно ответ кажется завышенным.

[svv]

Verbery

мат-ламер прав. Допустим, в Москве выпустили 700 миллионов билетов, в Питере — 300 миллионов, остальные условия те же. Вероятность купить единственный выигрышный билет ничтожно мала. Но Ваша формула даст тот же результат:
$P = \frac{700\;\text{миллионов}}{1000\;\text{миллионов}}\cdot \frac{1}{3} + \frac{300\;\text{миллионов}}{1000\;\text{миллионов}}\cdot \frac{2}{3} = \frac{13}{30}$

[Verbery]

svv
мат-ламер
Да, согласен. Мне кажется нужно рассудить так:
1) Знание о том куда и как выигрышный билет попал до смешивания всего в одну кучу никаких дополнительных знаний нам не даёт, поэтому вероятность: $1 / 1000$
2) kotenok gav
К сожалению, не сообразил как тут можно присовокупить парадокс Монти-Холла, так как в этом парадоксе мы можем менять свой выбор, а тут нет. Думаю ответ всё-таки должен быть просто $1 / 332$

[kotenok gav]

Verbery в сообщении #1561267 писал(а):

К сожалению, не сообразил как тут можно присовокупить парадокс Монти-Холла, так как в этом парадоксе мы можем менять свой выбор, а тут нет. Думаю ответ всё-таки должен быть просто $1 / 332$

Смысл в том, что после получения информации о невыигрышных билетах вероятность изменится.

-- 28 июл 2022, 15:15 --

Verbery в сообщении #1561267 писал(а):

Знание о том куда и как выигрышный билет попал до смешивания всего в одну кучу никаких дополнительных знаний нам не даёт, поэтому вероятность: $1 / 1000$

Шанс у билета из Питера выиграть в два раза больше.

[alcoholist]

kotenok gav в сообщении #1561270 писал(а):

Шанс у билета из Питера выиграть в два раза больше

И что?
Единственный выигрышный билет на $\frac{2}{3}$ в СПб и на $\frac{1}{3}$ в МСК, поэтому $\mathbb{P}(Win|SPb)=\frac{2/3}{300}$ и $\mathbb{P}(Win|M)=\frac{1/3}{700}$. Следовательно,

$$ \mathbb{P}(Win)=\mathbb{P}(Win|SPb)\mathbb{P}(SPb)+\mathbb{P}(Win|M)\mathbb{P}(M)=\frac{300}{1000}\frac{2/3}{300}+\frac{700}{1000}\frac{1/3}{700}=\frac{1}{1000} $$

[Null]

А можно понять так: У одного билета Питере выиграть шанс в 2 раза больше чем у 1 билета в Москве и тогда $\mathbb{P}(Win|SPb)=\frac{2}{1300}$ и $\mathbb{P}(Win|M)=\frac{1}{1300}$. Следовательно

$$ \mathbb{P}(Win)=\mathbb{P}(Win|SPb)\mathbb{P}(SPb)+\mathbb{P}(Win|M)\mathbb{P}(M)=\frac{300}{1000}\frac{2}{1300}+\frac{700}{1000}\frac{1}{1300}=\frac{1}{1000} $$

[alcoholist]

Null в сообщении #1561295 писал(а):

$\mathbb{P}(Win|SPb)=\frac{2}{1300}$ и $\mathbb{P}(Win|M)=\frac{1}{1300}$

но ведь число билетов в разных городах разное... и откуда взято 1300?

[svv]

Verbery в сообщении #1561201 писал(а):

Вероятность того, что билет из Питера выиграет в 2 раза больше, чем в Москве.

Это условие можно практически реализовать так.
На каждом московском билете написан уникальный номер, на каждом питерском два уникальных номера. Всего номеров, стало быть, $1300$, и можно считать, что это целые числа от $1$ до $1300$.
При розыгрыше равновероятно выбирается целое число от $1$ до $1300$, и выигрывает единственный билет, на котором оно написано.

[Null]

$1300=300\cdot2+700$
300 билетов в Питере и у каждого вероятность быть выигрышным равна $\frac{2}{1300}$ и 700 билетов в Москве и у каждого вероятность быть выигрышным равна $\frac{1}{1300}$. Сумма всех вероятностей как раз $1$. Во как у svv

[Лукомор]

Verbery в сообщении #1561201 писал(а):

й. Вероятность того, что билет из Питера выиграет в 2 раза больше, чем в Москве.

Глупый, возможно, вопрос у меня возник.
А как практически реализовать вот это вот условие из задачи?
Единственное, что на ум пришло - провести розыгрыш в два этапа:
предварительно провести розыгрыш в Москве, и определить один номер выигрышного билета из семисот.
Параллельно провести розыгрыш в Питере и выбрать две кандидатуры из 300.
На втором этапе - разыграть один выигрышный билет из этих трех.
Но это не правильно.
Потому что тогда вероятность выигрыша московского билета
$P_M=\frac{1}{3}\cdot\frac{1}{700}=\frac{1}{2100}$
а вероятность выигрыша питерского билета равна
$P_{SP}=\frac{2}{3}\cdot\frac{1}{300}=\frac{2}{900}$,
то-есть почти в 5 раз больше.
А как правильно организовать такой тираж?

-- Пт июл 29, 2022 09:33:38 --

Verbery в сообщении #1561201 писал(а):

Вы купили билет в Минске

Предположим, что все выпущенные билеты разослали в 10 городов, по 100 штук в каждый - по 70 из Москвы,
и по 30 из Питера.
Какова вероятность, что выигравший билет был отправлен в Минск?

[mihaild]

Лукомор в сообщении #1561351 писал(а):

А как правильно организовать такой тираж?

Предложение svv вам не нравится? (напечатать на 300 билетов больше, скрепить 300 пар билетов степлером, и отправить пары в Питер)

[Лукомор]

mihaild в сообщении #1561387 писал(а):

Предложение svv вам не нравится? (напечатать на 300 билетов больше, скрепить 300 пар билетов степлером, и отправить пары в Питер)

В принципе, это единственное разумное предложение.
Причем лишних билетов печатать не надо.
Можно сделать просто билеты с двойными номерами.
то есть будет 1000 билетов и 1300 номеров.
И один из 1300 номеров - выигрышный.
Пожалуй так.
Потому что я попробовал найти решение для двухэтапной системы розыгрыша,
Где все билеты одинаковые, с одним номером, но на первом этапе определяется $X$ номеров из 700, и $Y$ номеров из 300, а потом среди них производится определение единственного выигрышного билета.
Оказалось, что таких $X$ и $Y$ не существует.

[mihaild]

Лукомор в сообщении #1561406 писал(а):

Оказалось, что такого $X$ не существует.

Ну это естественно, потому что в такой схеме вероятность что выиграет Питер равна $\frac{2}{3}$, но в условиях задачи она всё-таки $\frac{6}{13}$.