Общая теория интеграла

[EminentVictorians]

KregSeptim в сообщении #1560667 писал(а):

Так, в анализе эр интересно потому, что в его универсуме это универсальный объект — терминальное архимедово поле.

Это интересно. Здесь слово "упорядоченное" не пропущено?

Правильно ли я понимаю, что универсум сам является категорией? У меня пока такая аналогия: любое частично упорядоченное множество можно рассматривать как категорию, в которой стрелка $x \to x'$ олицетворяет $x \leqslant x'$. А далее сами частично упорядоченные множества собираются в категорию, в которой они - объекты, а стрелки - монотонные отображения. И вот эта категория и будет универсумом для частично упорядоченных множеств, верно?

По этой аналогии тогда можно рассмотреть категорию всех архимедовых упорядоченных полей со стрелками - гомоморфизмами полей + сохраняющими линейный порядок. Она и будет, получается, универсумом. Терминальный - это есть стрелки из любого объекта в него. Другими словами, это означает, что любое архимедово упорядоченное поле вкладывается в $\mathbb R$. И именно это и является универсальным свойством $\mathbb R$, то что оно является максимальным архимедовым упорядоченным полем, так получается?

Если я все правильно понял, то я очень даже согласен с тем, что $\mathbb R$ интересно. Просто оно интересно, скажем так, на своем уровне. Поэтому ваш критерий интересности, завязанный на универсальное свойство, меня, например, всем устраивает.

Я имел в виду немного другое. Хочется смотреть на матанализ, не как на науку об $\mathbb R$, а как на некий набор фактов, справедливых вне зависимости от области приложения. Именно поэтому мне так понравилась идея с "категориями исчисления". Есть идея - теорема Барроу. А где и в каком виде она будет выполняться - не важно. (забавно, буквально пару месяцев назад писал, насколько мне нравится теорема Барроу, а тут оказывается, что она является центральной идеей категорий исчисления; бывают же в жизни приятные совпадения)