Здравствуйте.
Читаю книгу: Энциклопедия Элементарной математики, том 2, Алгебра, 1951 год.
Раздел о разрешимости уравнений выше 4-ой степени в радикалах. Это параграф 16.
Читаем доказательство (и саму лемму) леммы 3.
1) Непонятно, для чего 1-ый коэффициент приравнивать единице.
2) У нас изначально (согласно уравнению (1)) степени простые, этого требует и доказательство. Хорошо, допустим это числа 2,3,5,7,11 - 5 чисел. Далее (стр. 276) мы умножаем простые числа не некое число и делим на 11. Если бы у нас были числа от 1 до 11, то мы бы получили все 11 разных остатка. Всё было бы хорошо, но у нас ведь только простые числа. Или я что-то путаю?
3) При доказательстве леммы 4 не понял как неприводимость двучлена влияет на равенство нулю многочлена. Ведь корень двучлена, это не корень исходного уравнения. Где связь?
стр. 273,275,276:
https://www.mathedu.ru/text/encz_elem_matematiki_kn2_algebra_1951/p273/https://www.mathedu.ru/text/encz_elem_matematiki_kn2_algebra_1951/p275/https://www.mathedu.ru/text/encz_elem_matematiki_kn2_algebra_1951/p276/Изложу свои мысли по первому вопросу.
У нас есть свободный член и коэффициенты при степенях полинома (уравнение (2)). Было бы хорошо в дальнейшем показать, что полином (2) ни при каких обстоятельствах не равен числу из поля
, а был бы зависим от радикала
. Для этого показываем, что один из коэффициентов равен 1, т.е. не равен 0.
Однако, если один из коэффициентов, по условию не равен 0, то тогда смысл такого подхода теряется. Тогда в чём смысл приравнивать 1 первый коэффициент?
