Теоремы. Необходимость и достаточность.

[StepV]

Уважаемые коллеги. Нигде не нашел четкого критерия, когда сформулированная теорема может доказываться напрямую, когда через доказательство необходимости и достаточности. Если есть где-то конкретная поясняющая литература, то дайте, пожалуйста, ссылку. Может можно это правило сразу определить в отдельном сообщении с примерами?

[Otta]

Что значит напрямую и чем оно отличается от доказательства необходимости и достаточности? Последние два тоже могут доказываться напрямую. Расскажите, как Вы их отличаете.

[StepV]

Otta в сообщении #1560320 писал(а):

Что значит напрямую и чем оно отличается от доказательства необходимости и достаточности?

Приведу два простых примера из Иванова Е.Е "Диф. исчисление функции одного переменного".
На стр 31 теорема 1.1 формулируется в терминах "необходимо и достаточно" и так доказывается. Текст теоремы: "Для дифференцируемости функции $y=f(x)$ в точке $a$ необходимо и достаточно, чтобы она имела в этой точке конечную производную".
Почему нельзя обойтись без доказательства необходимости и достаточности?

Второй вариант на стр 32 Теорема 1.2: "Если функция $y=f(x)$ дифференцруема в т.$x=a$ , то она непрерывна в этой точке"
И чем первый случай отличается от второго. Почему во втором случае обходимся без доказательства "необходимости и достаточности".
Вопрос в том, в каких случаях для доказательства математического утверждения надо формировать доказательство с выделением "необходимости и достаточности", а когда используется прямое доказательство, рассматривающее просто возможные варианты для данного утверждения.

[Otta]

Необходимость и достаточность - это утверждение "в две стороны".
То есть утверждение раз:
(функция дифф-ма в точке) $\Leftrightarrow$ (у нее существует конечная производная в этой точке)

StepV в сообщении #1560330 писал(а):

"Если функция $y=f(x)$ дифференцруема в т.$x=a$ , то она непрерывна в этой точке"

Тут такого не устроишь, потому что дифференцируемость непрерывности не равносильна.

StepV в сообщении #1560330 писал(а):

Вопрос в том, в каких случаях для доказательства математического утверждения надо формировать доказательство с выделением "необходимости и достаточности", а когда используется прямое доказательство, рассматривающее просто возможные варианты для данного утверждения.

Они все прямые, которые не от противного. Вопрос не в этом.
Вам надо понять, что такое необходимое условие, что такое достаточное, что такое оба сразу (или критерий). Почитайте, это в мат. литературе начального уровня всегда есть. В том же Зориче, например.

[Mikhail_K]

StepV
Фраза "Для $A$ необходимо $B$" означает "Если $A$, то $B$".
Фраза "Для $A$ достаточно $B$" означает "Если $B$, то $A$".
Это два разных утверждения. Поэтому неудивительно, что если в условии теоремы сказано "Для $A$ необходимо и достаточно $B$", то доказывать нужно оба.

[StepV]

Mikhail_K в сообщении #1560333 писал(а):

Фраза "Для $A$ необходимо $B$" означает "Если $A$, то $B$".
Фраза "Для $A$ достаточно $B$" означает "Если $B$, то $A$".

Фактически приведенный мной вариант со второй теоремой в посте выше - это доказана достаточность? Если у нас есть только доказательство необходимости, то это будет означать, что для $A$ может быть необходимым еще $C,D,...$.

[Mikhail_K]

StepV в сообщении #1560342 писал(а):

Фактически приведенный мной вариант со второй теоремой в посте выше - это доказана достаточность?

StepV в сообщении #1560330 писал(а):

Второй вариант на стр 32 Теорема 1.2: "Если функция $y=f(x)$ дифференцруема в т.$x=a$ , то она непрерывна в этой точке"

Смотрите: непрерывность в точке необходима для дифференцируемости в этой точке.
Или, что то же самое: дифференцируемость в точке достаточна для непрерывности в этой точке.

В то же время, непрерывность не достаточна для дифференцируемости, а дифференцируемость не необходима для непрерывности.

Необходимость $A$ для $B$ - это то же самое, что достаточность $B$ для $A$.

StepV в сообщении #1560342 писал(а):

Если у нас есть только доказательство необходимости, то это будет означать, что для $A$ может быть необходимым еще $C,D,...$.

Ну да, может такое быть.

[StepV]

Mikhail_K в сообщении #1560344 писал(а):

Необходимость $A$ для $B$ - это то же самое, что достаточность $B$ для $A$.

Остался один сомнительный для меня момент. Правильно ли я понимаю:
1. если в теореме доказывается только достаточность, то в формулировке теоремы указание на то, что доказывается достаточность, можно опустить.
2. если в теореме доказывается только необходимость, то в формулировке теоремы мы обязаны это указать.
3. Доказательство необходимости и достаточности в теореме указывается обязательно.
Это будет соответствовать практике формулировки доказательства теорем?

[Mikhail_K]

StepV в сообщении #1560346 писал(а):

1. если в теореме доказывается только достаточность, то в формулировке теоремы указание на то, что доказывается достаточность, можно опустить.
2. если в теореме доказывается только необходимость, то в формулировке теоремы мы обязаны это указать.
3. Доказательство необходимости и достаточности в теореме указывается обязательно.
Это будет соответствовать практике формулировки доказательства теорем?

Нет, это Вы что-то придумываете.
Давайте возьмём приведённую Вами теорему

StepV в сообщении #1560330 писал(а):

Если функция $y=f(x)$ дифференцируема в т. $x=a$, то она непрерывна в этой точке

Её можно было бы ещё сформулировать так:
Для дифференцируемости функции $f(x)$ в точке $x=a$ необходима непрерывность этой функции в данной точке.
Или так:
Для непрерывности функции $f(x)$ в точке $x=a$ достаточна дифференцируемость этой функции в данной точке.
Это была бы одна и та же теорема, просто по-разному сформулированная.

Теперь другой Ваш пример:

StepV в сообщении #1560330 писал(а):

Для дифференцируемости функции $y=f(x)$ в точке $a$ необходимо и достаточно, чтобы она имела в этой точке конечную производную

То же самое можно было бы сформулировать так:
Функция $f(x)$ дифференцируема в точке $a$ тогда и только тогда, когда она имеет в этой точке конечную производную.

"Необходимость" и "достаточность" - это не какие-то магические слова, которые нужно употреблять по строго фиксированным правилам. Нужно просто понимать их смысл, и всё.

[StepV]

Mikhail_K в сообщении #1560347 писал(а):

Это была бы одна и та же теорема, просто по-разному сформулированная.

Спасибо за пост. Ваши два варианта для второго варианта теоремы мне понятны. Мне непонятно, почему в книге спокойно доказывают эту теорему без указания "необходимости или достаточности" в формулировке теоремы, а тем более без указания этого в теле доказательства. Там просто идет ссылка на предыдущую теорему и вывод. В каких случаях так можно делать?

[nnosipov]

Mikhail_K в сообщении #1560347 писал(а):

Нужно просто понимать их смысл, и всё.

К сожалению, внушить это студентам непросто. Вот у меня в методичке по теории чисел есть такая теорема:

Теорема 1.6. Числа $a,\,b \in \mathbb{Z}$ взаимно просты тогда и только тогда, когда найдутся такие $x_0,\,y_0 \in \mathbb{Z}$, что $ax_0 + by_0 = 1$.

Я решил выпендриться и написал вот такое доказательство:

Доказательство. Утверждение "тогда" очевидно (любой общий делитель $a$ и $b$ в силу равенства обязан делить единицу), а утверждение "только тогда" является частным случаем теоремы 1.4.

В эту сессию одна студентка (3-й курс) дословно воспроизвела этот текст доказательства, но подробное разбирательство показало, что она не понимает смысла написанного. А именно, я попросил расшифровать фразы "утверждение "тогда"" и "утверждение "только тогда"" в тексте доказательства; расшифровка подразумевала написать, что в каждом утверждении "дано" и что нужно "доказать" (ну, как в школе на уроках геометрии при доказательстве какой-нибудь теоремы пишут: вот это дано, а вот это нужно доказать). Ничего вразумительного в ответ я не получил. И тогда я решил на последующих консультациях провести тест, в котором попросить, к примеру, расшифровать следующее предложение:

Предложение. Числа $a,\,b \in \mathbb{Z}$ взаимно просты только тогда, когда найдутся такие $x_0,\,y_0 \in \mathbb{Z}$, что $ax_0 + by_0 = 1$.

То есть попросил написать, что здесь "дано" и что нужно "доказать". Этот тест был предложен примерно двум десяткам студентов. Его прошли примерно половина участников. Мораль проста: 1) не фиг выпендриваться; 2) но что-то нужно делать, поскольку в математических книжках обороты "только тогда, когда" и особенно "только если" встречаются довольно часто (но, безусловно, реже, чем оборот "тогда и только тогда, когда", который больше на слуху и потому более понятен/привычен).

[Mikhail_K]

StepV в сообщении #1560349 писал(а):

В каких случаях так можно делать?

В любых случаях. Если автор хочет, он может использовать слова "необходимость" и "достаточность", если не хочет - может использовать другие формулировки.

[StepV]

Mikhail_K в сообщении #1560356 писал(а):

Если автор хочет, он может использовать слова "необходимость" и "достаточность", если не хочет - может использовать другие формулировки.

Спасибо! Боялся, что есть какие-то формальные требования. А требование оказывается одно, чтобы доказательство правильным было .

nnosipov в сообщении #1560352 писал(а):

что-то нужно делать, поскольку в математических книжках обороты "только тогда, когда" и особенно "только если" встречаются довольно часто (

Да, это очень нужно. Я в первом посте спросил возможную литературу, где бы эта тема подробно была раскрыта. Посоветовали только Зорича. Посмотрел его матан, а там формальное описание на полстраницы. Можно сто раз правильно повторить доказательства ста теорем, но не уметь сформулировать одно собственное доказательство своей теоремы, потому что этому точно в ВУЗе не учат и методической литературы по этой теме нет.

[Sinoid]

StepV в сообщении #1560358 писал(а):

потому что этому точно в ВУЗе не учат и методической литературы по этой теме нет.

Дык, собственно, и учить-то нечему: нужно лишь раз прокрутить это все в голове и все .

[Otta]

StepV в сообщении #1560358 писал(а):

Посмотрел его матан, а там формальное описание на полстраницы.

Так Вы изучИте эти полстраницы. Правильно изучите. Примеры придумайте.

StepV в сообщении #1560358 писал(а):

Спасибо! Боялся, что есть какие-то формальные требования. А требование оказывается одно, чтобы доказательство правильным было .

Разумеется, есть формальные требования. Что-то называется необходимостью, а что-то достаточностью. К доказательству это отношения не имеет, только к самому утверждению.

А можно дурацкий вопрос?

(дурацкий вопрос)

Чем вызвано такое обращение?

StepV в сообщении #1560317 писал(а):

Уважаемые коллеги.

когда уже по первым строкам понятно, что мы ни разу не коллеги?