Вычислить многочлены при известном кубическом уравнении

[Alexander__]

Условие:

Пусть $x_1$, $x_2$, $x_3$ -- корни уравнения $x^3-7x+2=0$. Вычислить $x_1^2+x_2^2+x_3^2$ и $\frac1{x_1} + \frac1{x_2} + \frac1{x_3}$.

-----

Какие-либо корни к уравнению подобрать не получилось, чтобы снизить степень хотя бы до второй.

Верно ли, что задача решается с применением теоремы Виета для кубического уравнения? Если да, то показалась подозрительно простой.

[lel0lel]

Симметричные полиномы, представляйте их все через элементарные симметричные полиномы, а они, с точностью до знака, есть коэффициенты уравнения.

[Pphantom]

Да, естественно (хотя при большом желании можно и формулой Кардано воспользоваться).

"Простой" - смотря для кого. Для физматшколы или первого курса сойдет, а больше вроде нигде и встречаться не должна.

[nnosipov]

Alexander__ в сообщении #1558965 писал(а):

Если да, то показалась подозрительно простой.

Хотите посложней? Пожалуйста:

Пусть $x_1$, $x_2$, $x_3$ --- вещественные корни уравнения $x^3-3x^2+1=0$, причем $x_1<x_2<x_3$. Найдите $x_1/x_2+x_2/x_3+x_3/x_1$.

[Alexander__]

lel0lel в сообщении #1558966 писал(а):

Симметричные полиномы, представляйте их все через элементарные симметричные полиномы, а они, с точностью до знака, есть коэффициенты уравнения.

Про симметричные полиномы почитал. Но не понял как сделать то, о чём вы говорите. Поясните, пожалуйста.

[lel0lel]

Давайте рассмотрим пример, предложенный nnosipov. Приведите всё к общему знаменателю, тогда то, что в знаменателе дроби можно сразу заменить на один из коэффициентов, а то, что в числителе сначала придется представить через элементарные симметричные полиномы.

[iifat]

Alexander__ в сообщении #1560037 писал(а):

Про симметричные полиномы
почитал

Ну, раз вы почитали про основную теорему, значит, вы знаете, что любой симметрический многочлен выражается через элементарные. Если посмотреть её доказательство, можно извлечь из него и способ построения такого представления, но в данном случае это и необязательно. Про значения элементарных симметрических многочленов можно почитать теорему Виета.

[svv]

Пусть
$p(x_1,x_2,x_3)=x_1/x_2+x_2/x_3+x_3/x_1$
$q(x_1,x_2,x_3)=x_2/x_1+x_3/x_2+x_1/x_3$
Изюминка задачи nnosipov в том, что ни $p$, ни $q$ не являются симметрическими функциями, а потому и не выражаются через симметрические многочлены.

Но вот $p+q$ и $pq$ уже симметрические, и их значения несложно найти. Остаётся решить квадратное уравнение и из каких-то соображений выбрать нужный корень.

[lel0lel]

(Оффтоп)

svv в сообщении #1560071 писал(а):

Изюминка задачи nnosipov в том, что ни $p$, ни $q$ не являются симметрическими функциями, а потому и не выражаются через симметрические многочлены.

Не заметил, что числитель не симметричный получается. Неверно подсказал

[Евгений Машеров]

nnosipov в сообщении #1558968 писал(а):

Пусть $x_1$, $x_2$, $x_3$ --- вещественные корни уравнения $x^3-3x^2+1=0$, причем $x_1<x_2<x_3$. Найдите $x_1/x_2+x_2/x_3+x_3/x_1$.

Чёт я туплю. Как решить, понятно, но при чём тут $x_1<x_2<x_3$?

[nnosipov]

Евгений Машеров в сообщении #1560294 писал(а):

при чём тут $x_1<x_2<x_3$

Выражение $x_1/x_2+x_2/x_3+x_3/x_1$ не является симметрическим и принимает два значения в зависимости от нумерации корней (а не одно, как если бы оно было симметрическим). Поэтому требуется еще какое-нибудь условие на $x_1$, $x_2$, $x_3$, чтобы значение этого выражения стало однозначным.