2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему
 
 Проволочная скобка на нити
Сообщение12.07.2022, 02:38 
Аватара пользователя


09/10/15
4227
где-то на диком Западе. У самого синего моря.
Пока зубодробительные задачки кончились, предложу задачки с одной республиканской Олимпиады.

Лёгкая нерастяжимая нить длиной $2L = 2m$ удерживается за её концы так, что они находятся на одной высоте рядом друг с другом. На нити висит проволочная скобка в виде перевёрнутой буквы U. Масса скобки $m=1gr$ . Нить выдерживает максимальную растягивающую силу $F = 5 N$. ($F >> mg$).
Концы нити начинают перемещать в противоположных горизонтальных направлениях с одинаковыми скоростями $v = 1 m/s$. В какой-то момент нить не
выдерживает и рвётся. На какую максимальную высоту от своего положения в момент разрыва нити взлетит скобка? Сопротивлением воздуха пренебречь.

 Профиль  
                  
 
 Re: Проволочная скобка на нити
Сообщение12.07.2022, 08:50 
Аватара пользователя


11/12/16
13467
уездный город Н
Записываем уравнение кинематической связи:
$h(t) = L(1 - \sqrt{1 - (a(t)/L)^2})$
Дважды дифференцируем по времени, получаем ускорение точки подвеса. Далее - понятно.

 Профиль  
                  
 
 Re: Проволочная скобка на нити
Сообщение12.07.2022, 15:29 
Аватара пользователя


09/10/15
4227
где-то на диком Западе. У самого синего моря.
EUgeneUS
Ваше кинематическое уравнение в упор не понял. Ну да ладно.
А как вы решаете потом полученное уравнение 4-й степени? Или у вас оно получается другое?

 Профиль  
                  
 
 Re: Проволочная скобка на нити
Сообщение13.07.2022, 09:41 
Заслуженный участник


28/12/12
7803
fred1996 в сообщении #1560004 писал(а):
А как вы решаете потом полученное уравнение 4-й степени?

Откуда там четвертая степень?
У меня получается, если по пути не ошибся

(Оффтоп)

$$h=\frac{v^2}{2g}\left(\sqrt{\frac{2FL}{mv^2}}-1\right).$$

 Профиль  
                  
 
 Re: Проволочная скобка на нити
Сообщение13.07.2022, 10:29 
Аватара пользователя


11/12/16
13467
уездный город Н
fred1996 в сообщении #1560004 писал(а):
А как вы решаете потом полученное уравнение 4-й степени? Или у вас оно получается другое?

Никак не буду. Воспользуюсь вот этим:
fred1996 в сообщении #1559973 писал(а):
$F = 5 N$. ($F >> mg$).

И выкину член с $1/x$. Можно числа подставаить, тогда получится:
$5/x + 1/x^4 = 5000$ и совсем легко показать, что первый член много меньше второго.

DimaM
Ответ должен представлять сумму высот:
1. До обрыва нити. Этот член не будет зависеть от $g$
2. Высоты свободного полета. Этот член будет пропорционален $1/g$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Проволочная скобка на нити
Сообщение13.07.2022, 10:43 
Заслуженный участник


28/12/12
7803
EUgeneUS в сообщении #1560060 писал(а):
Ответ должен представлять сумму высот:
1. До обрыва нити. Этот член не будет зависеть от $g$
2. Высоты свободного полета. Этот член будет пропорционален $1/g$.

Вопрос задачи относится только ко второму члену.

 Профиль  
                  
 
 Re: Проволочная скобка на нити
Сообщение13.07.2022, 10:44 


21/07/20
229
DimaM
У меня также, если единицу в скобках отбросить, что оправдано при заданных параметрах.

 Профиль  
                  
 
 Re: Проволочная скобка на нити
Сообщение13.07.2022, 10:48 
Аватара пользователя


11/12/16
13467
уездный город Н
DimaM в сообщении #1560062 писал(а):
Вопрос задачи относится только ко второму члену.

Как обычно, слона-то я и не приметил :roll:.
Тогда у меня также, но без $-1$, это даёт ошибку ровно в 1%.

 Профиль  
                  
 
 Re: Проволочная скобка на нити
Сообщение13.07.2022, 11:19 
Заслуженный участник


28/12/12
7803
Ignatovich
EUgeneUS
А можете ход вашего решения показать?
Я, оказывается, забыл учесть $mg$ в сумме сил, действующих в момент разрыва. С ним действительно уравнение четвертой степени выходит (но этот член маленький). А вы еще пренебрегли отличием косинуса от единицы?

 Профиль  
                  
 
 Re: Проволочная скобка на нити
Сообщение13.07.2022, 12:35 


21/07/20
229
DimaM
Да, силой тяжести до разрыва нити пренебрегал и в момент разрыва считал, что нить практически горизонтальна (косинус малого угла равен 1). В рамках такого приближения получил:
$h=\frac{\upsilon^2}{2g}(\sqrt{\frac{2FL}{m\upsilon^2}+\frac{1}{2}}-\frac{1}{2})$
1/2 можно отбросить. Это соответствует тому, что начальная скорость "снаряда" значительно больше горизонтальной скорости точек крепления тетивы.

 Профиль  
                  
 
 Re: Проволочная скобка на нити
Сообщение13.07.2022, 12:50 
Аватара пользователя


11/12/16
13467
уездный город Н
DimaM в сообщении #1560067 писал(а):
А вы еще пренебрегли отличием косинуса от единицы?


Скорее отличием синуса от единицы. Косинус как раз небольшой получается (около 0.1).
Скорость точки подвеса равна $V = v \tg \alpha$, что почти очевидно из чертежа.
Но у меня после дифференцирования синус вверху потерялся. :roll:

 Профиль  
                  
 
 Re: Проволочная скобка на нити
Сообщение14.07.2022, 10:41 
Заслуженный участник


28/12/12
7803
EUgeneUS в сообщении #1560073 писал(а):
Скорее отличием синуса от единицы. Косинус как раз небольшой получается (около 0.1).

Ну, это какой угол выбрать. Я брал между нитью и горизонталью.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 12 ] 

Модераторы: photon, whiterussian, profrotter, Jnrty, Aer, Парджеттер, Eule_A, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group